"¿Es suficiente este curso para prepararme para la Geometría Algebraica de Hartshorne? ¿O necesito estudiar más capítulos?".
Necesitas estudiar menos capítulos, siendo el número exacto (por aproximación de primer orden) cero .
Lo que quiero decir es que Hartshorne utiliza un número muy restringido de resultados en álgebra conmutativa:
El Nullstellensatz de Hilbert, el teorema del ideal principal de Krull, la caracterización de los anillos factoriales por el principado de los primos de altura uno, la finitud del cierre integral y algunos otros teoremas.
Estos resultados son muy importantes y muy difíciles en el sentido de que ningún estudiante que acabe de aprender las definiciones pertinentes podría encontrar la demostración por sí mismo.
Sin embargo, puede tomarse estos grandiosos teoremas por fe, como cajas negras, o comprobar sus demostraciones (quizá más tarde, cuando le apetezca) en Eisenbud u otros libros sobre álgebra conmutativa, como Zariski-Samuel o Matsumura.
Pero no hay ninguna necesidad de leer las 355 páginas que comprenden los 14 primeros capítulos de Eisenbud: son muy interesantes, pero estudiarlas seriamente no es en absoluto necesario y en realidad sería prevenir de aprender geometría algebraica genuina durante mucho tiempo.
Le aconsejo que estudie muy a fondo los primeros capítulos de Atiyah-Macdonald para familiarizarse con los conceptos básicos, hojee el resto del libro y simultáneamente Comienza el capítulo 1 en Hartshorne.
¡Que Dios te acompañe!
