La probabilidad P[X < g(Y)]

Question

Supongamos que $X$ $Y$ son independientes aleatoria continua las variables que tienen densidades $f_X$$f_Y$ , respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de $P[X < g(Y)]$ $g(\cdot)$ una continua funciones?

Answer 1

Para cada independientes $(X,Z)$ $X$ continuo, $P[X\lt Z\mid Z=z]=P[X\lt z]=F_X(z)$, por lo tanto $$ P[X\lt Z]=E[F_X(Z)]. $$ Aplicar esto a $Z=g(Y)$. Ni $Y$ ni $g$ que se requiere para ser continua.

Answer 2

Desde $f_X$ $f_Y$ son independientes, entonces la articulación pdf parecerá $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$. A continuación, podemos realizar la transoformation o variables de $Y$ a $Z=g(Y)$: $f_{XZ}(x,z)=f_X(x)f_Z(z)\left|\frac{\partial g(y)}{\partial y}\right|$. La pregunta $P[X < g(Y)]$ nos impulsa a usar la articulación de cdf de $X$ y $Z$: $F_{XZ}(x,z)$.
Por lo $P[X < Z]=F_X(z)=\int_{-\infty}^{-\infty}F_{XZ}(z,z')\mathrm dz'$.