Número complejo en un logaritmo

Question

Estoy teniendo un poco de problemas para la comprensión de los números complejos con los logaritmos. ¿Cómo puedo hacer el registro de $e$ ($\log_{i}{e}$)? Lo que hice primero fue a do $\frac{\log{e}}{\log{i}}$. No tengo ninguna idea de cómo simplificar esto.

Answer 1

$i = e^{i \frac{\pi}{2}}$

Por lo $\ln i = i\frac{\pi}{2}$.

Por lo tanto $$\frac{\ln e }{\ln i} = \frac{2}{i \pi}$$

Aunque tomamos nota de que el principio de la rama y complejos logaritmos tienen varios valores de funciones.

Answer 2

El complejo logaritmo tiene varios valores, por lo que $$\log i = \log(e^{i\pi/2 + 2\pi i k}) = \frac{i\pi}{2} + 2\pi i k, k \in \mathbb{Z}$$

$$\log_i(e) = \frac{1}{i\pi/2 + 2\pi i k} = -\frac{2i}{\pi + 4\pi k}$$

Answer 3

Aviso:

• $$i=e^{\frac{\pi i}{2}}=e^{\left(2\pi k+\frac{\pi}{2}\right)i}\space\space\space\space\space\space\text{with}\space k\in\mathbb{Z}$$
• $$\ln(e)=\log_{e}(e)=\frac{\ln(e)}{\ln(e)}=1$$
• $$\ln(i)=\ln\left(e^{\left(2\pi k+\frac{\pi}{2}\right)i}\right)=\ln\left(ie^{2i\pi k}\right)=\frac{\pi i}{2}\space\space\space\space\space\space\text{with}\space k\in\mathbb{Z}$$

Así:

$$\log_{i}(e)=\frac{\ln(e)}{\ln(i)}=\frac{1}{\ln\left(ie^{2i\pi k}\right)}=\frac{1}{\frac{\pi i}{2}}=\frac{2}{\pi i}=-\frac{2i}{\pi}\space\space\space\space\space\space\text{with}\space k\in\mathbb{Z}$$

Answer 4

Todo lo que usted necesita saber es $log(z)=log(x)+i\theta$donde $z$ es un número complejo y $x=|z|$ $\theta=amplitude$

Answer 5

$\log_i e$ es un número $z$ tal que $i^z=e$; a su vez, debido a que $i=e^{i\pi/2}$, $i^z$ puede ser escrito como $(e^{\pi i/2})^z=\exp(i\pi z/2)$. Debido a $|\exp(i\pi t)|=1$ $t$ real, vemos que $z$ no puede ser real. Deje $z=u+iv$ con $u$, $v$ real. A continuación,$\exp(i\pi z/2)=\exp(i\pi u/2-\pi v/2)$. Tener que igual $e$, debemos tener $i\pi u/2=2n\pi i$ para algunos integral de la $n$, ya que el $e$ es real, y $\pi v/2=-1$.