La desaparición de un cierto Tor

Question

Estoy leyendo acerca de la construcción de los Afín Grassmannian en Dennis Gaitsgory seminario de notas y hay algunos álgebra conmutativa hechos que no soy capaz de averiguar por mí mismo, aparentemente, como la siguiente:

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, $A$ de un número finito de tipo $k$-álgebra y $A\subseteq B$ algunos (no finito) el tipo de extensión. Deje $M$ ser un finitely generadas $A[[t]]$-módulo que es plana por $A$ (en realidad finita gratuita de más de $A$) y $t$ actos nilpotently en $M$. A continuación, $\operatorname{Tor}^{A[[t]]}_n(M,B[[t]])=0$ todos los $n>0$.

Intuitivamente, ya que llegamos $B[[t]]$ $A[[t]]$ por la ampliación de sólo el coeficiente de anillo de $A$ en un "libre", planeidad en $A$ $M$ debería ser suficiente, pero no puedo hacer que en una prueba. Observe que $A[[t]]\otimes _A B\ne B[[t]]$ en general. Me estoy perdiendo algo que es obvio?

Editar:

Después de leerlo de nuevo, parece que la única hipótesis de que me perdí es que $t$ actos nilpotently en $M$ que creo que no se sigue de lo que he escrito. El lugar relevante en las notas es la primera línea en la página 7 y un poco antes de eso.

Answer 1

He aquí un intento (podría ser de errores así que tenga cuidado!).

Tenemos $$M \otimes_{A[[t]]}^{\mathbb{L}} B[[t]] \cong (M \otimes_{A[[t]]}^{\mathbb{L}} [[t]]/t^n) \otimes_{A[[t]]}^{\mathbb{L}} B[[t]].$$

Por asociatividad esto es (cuasi-isomorfo) $$M \otimes_{A[[t]]}^{\mathbb{L}} B[[t]]/t^n.$$ Desde $A[[t]] \rightarrow A[[t]]/t^n$ es surjective, este es el mismo como $$M \otimes_{A[[t]]/t^n}^{\mathbb{L}} B[[t]]/t^n.$$

Y esto satisface la conclusión de que quiere porque sus condiciones en $M$.

Answer 2

Nuevo intento:

Lema 24.6.6 en Vakil del AG notas a los estados:

Supongamos $N$ $R$- módulo de e $t\in R$ no es un divisor de cero en a $N$. Entonces para cualquier $R/(t)$-módulo de $M$, tenemos $$\operatorname{Tor}_i^R(M,N)=\operatorname{Tor}_i^{R/(t)}(M,N/(t)).$$ (En realidad, se afirma con las funciones de $M$ $N$ invierte, pero Tor es simétrica.)

Ahora, en nuestro caso, $R=A[[t]]$, $t^n$ no es un divisor de cero en a $N=B[[t]]$ $M$ es en realidad una $A[[t]]/(t^n)$-módulo, así que conseguir

$$\operatorname{Tor}_i^{A[[t]]}(M,B[[t]])=\operatorname{Tor}_i^{A[[t]]/(t^n)}(M,B[[t]]/(t^n)).$$

Tomar una resolución libre de $F_{\bullet}\to B$$A$. Tensoring con $A[[t]]/(t^n)$$A$, obtenemos $$F_{\bullet}\otimes _A[[t]]/(t^n)\B[[t]]/(t^n)$$

Que es un servicio gratuito de resolución de $B[[t]]/(t^n)$$A[[t]]/(t^n)$. Ahora, tensor de la con $M$$A[[t]]/(t^n)$, se obtiene el complejo

$$(F_{\bullet}\otimes _A[[t]]/(t^n)) \otimes _{A[[t]]/(t^n)} M \cong F_{\bullet}\otimes _A M$$

En el en la mano, su homología son precisamente los Tor-s queremos calcular y, por el otro, es exacta, por $A$-planeidad de $M$, por lo que su homología es cero.

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De edición (final, espero...): El segundo paso es exactamente el plano del cambio de base de Tor, pero en el otro módulo. El mapa de $A\to A[[t]]/(t^n)$ es plana, entonces tenemos $$\operatorname{Tor}_i^{A}(M,B)=\operatorname{Tor}_i^{A[[t]]/(t^n)}(M,B[[t]]/(t^n))$$

Donde se utilizó $B\otimes _A A[[t]]/(t^n)=B[[t]]/(t^n)$ (para esto, la reducción de mod $t^n$ era necesario!) y ahora, el lado izquierdo es cero por $A$-planeidad de $M$.