$\sum_{1}^{\infty}\log (n\sin \frac{1}{n}),$ converge o diverge?

Question

Aunque no estoy seguro de cómo probarlo, supongo que la serie es más probable que convergen, porque hemos $$\log (n\sin \frac{1}{n}) = \log 1 + o(1) = o(1).$$

Hay una casa a prueba de la convergencia?

Answer 1

Aquí es cómo se puede avanzar

$$ n\sin(1/n) \sim n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{3!\,n^3}\right) = 1-\frac{1}{3!\,n^2} $$

y, a continuación,

$$\ln\left( 1-\frac{1}{3!\,n^2} \right) \sim \frac{1}{3!\,n^2}$$