Normalizador vs Centralizador

Question

En Teoría de Grupos, ¿cuál es la diferencia entre un normalizador y un centralizador de un conjunto S? Estoy teniendo un poco de dificultad para entenderlo...

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Si $G$ es un grupo, y $H$ es un subgrupo, entonces el normalizador de $H$ en $G$ es $$N_G(H) = \{ g\in G \mid g^{-1}Hg = H\},$$ y el centralizador es $$C_G(H) = \{g\in G \mid gh = hg\text{ para todo }h\in H\}.$$

Es fácil ver que $C_G(H)\subseteq N_G(H)$, pero la conversa no necesariamente se cumple.

Por ejemplo, toma $G=S_3$, y deja que $H = \{ I, (1,2,3), (1,3,2)\}$.

¿Cuál es $C_G(H)$? Es la colección de todas las permutaciones que conmutan con $I$, con $(1,2,3)$, y con $(1,3,2)$. Dado que $(1,2)$ no conmuta con $(1,2,3)$, $$(1,2,3)(1,2) = (1,3)\neq (2,3) = (1,2)(1,2,3),$$ entonces $(1,2)\notin C_G(H)$. Sin embargo, $(1,2)$ sí normaliza $H$: $$\begin{align*} (1,2)^{-1}I(1,2) &= I\in H;\\ (1,2)^{-1}(1,2,3)(1,2) &= (1,3,2)\in H;\\ (1,2)^{-1}(1,3,2)(1,2) &= (1,2,3)\in H. \end{align*}$$ Entonces $(1,2)\in N_G(H)$. De manera similar, $(1,3)$ y $(2,3)$ no están en el centralizador, pero sí están en el normalizador. $H$ está contenido en ambos.

Para otro ejemplo, toma $G=H=S_3$. Entonces el normalizador es todo $G$, porque para cada $x,g\in G$ tenemos $gxg^{-1}\in G$; pero el centralizador es igual al centro (el conjunto de cosas que conmutan con todo) y el centro de $G$ es simplemente la identidad.

Answer 2

Existe una diferencia entre arreglar $S$ por elementos y preservar $S$ mientras posiblemente se permutan sus elementos, es posible que haya encontrado esta distinción antes, en álgebra lineal. Para ser precisos, el centralizador de $S$ en un grupo ambiente $G$ es $$ Z_S = \{x \in G : \text{para cada } y \in S,\, xyx^{-1} = y\} $$ y el normalizador es $$ N_S = \{x \in G : xSx^{-1} = S\}, $$ donde $xSx^{-1} = \{xyx^{-1} : y \in S\}$. Ciertamente $Z_S \subset N_S$, pero esta contención de subgrupos puede ser estricta. Como ejemplo sencillo, tome $G = S_3$ y $S = A_3 = \{e, [123], [132]\}$. Aquí $Z_S = S$, pero $N_S = G.

Answer 3

Un normalizador es un conjunto de elementos de un grupo que normaliza un conjunto de elementos que pertenecen al grupo, es decir, si X pertenece a un grupo G y existe g en G, entonces g inverso por X por g debería dar X.