Demostrar que la convexidad de tres conjuntos similares

Question

dados los siguientes 3 grupos:

$ \{ (x,y,z): x \ge y^2 + z^2, z>0 \} $

$ \{ (x,y,z): x^2 \ge y^2 + z^2, y>0 \} $

$ \{ (x,y,z): x^2 \ge y^2 + z^2, x>0 \} $

El primer conjunto es convexo porque se trata de una suma de conjunto convexo.

¿Por qué es el segundo conjunto no convexo? Pensé que también es un convexo suma: $y^2+z^2-x^2$? Y ¿por qué en el ejemplo 3: $-x^2+y^2+z^2$ nuevo convexos suma?

Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Para set #2: $(−1,1,0)$ pertenece y $(1,1,0)$ pertenece pero convexo combinación de $(0,1,0)$ no pertenece. Tenga en cuenta que $-x^2$ no es una función convexa y $y^2+z^2-x^2$, asimismo, es no convexo.

Para #3: Si $x > 0$, entonces: $$ x^2 \geq y^2 + z^2 \Leftrightarrow 0 \geq \sqrt{y^2 +z^2} - x $$ Observe $f(x,y,z) = \sqrt{y^2+z^2} - x$ es una función convexa, ya que es la suma de una función convexa (2-norma de (x,y)) y una función afín ($-x$). El sub-conjunto de nivel de una función convexa es un conjunto convexo.