Si $x = y^3$$\mathbb{Z} + \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\mathbb{Z}$, entonces hay algunas $w \in \mathbb{Z} + \sqrt{-3}\mathbb{Z}$ tal que $x = w^3$.

Question

Así que el título contiene la pregunta que tengo que resolver: "Si $x \in \mathbb{Z} + \frac{\bf{\color{red}{-}}1 + \sqrt{-3}}{2}\mathbb{Z}$ tal que puede ser escrito como la tercera potencia de algo en $\mathbb{Z} + \frac{\bf{\color{red}{-}}1 + \sqrt{-3}}{2}\mathbb{Z}$, entonces puede ser escrito como la tercera potencia de algo en $\mathbb{Z} + \sqrt{-3}\mathbb{Z}$."

Yo era capaz de mostrar que si $R$ es un UFD y $a,b,c \in R$ tal que $ab = c^p$ $p > 1$ algunos entero y si $g = \text{gcd}(a,b)$, entonces no existe $d, x \in R$ tal que $d \mid g^{p-1}$$a = dx^p$. La pregunta de seguimiento fue el anterior, pero no tengo idea de cómo empezar esta pregunta: he tratado de fuerza bruta, es decir, decir $x = a + b\phi$, $y = c + d\phi$ con $\phi = \frac{\bf{\color{red}{-}}1 + \sqrt{-3}}{2}$ y, a continuación, he tratado de mostrar que el $d$ tendría que ser un número par. Sin embargo, este enfoque no fue realmente útil. Por otra parte, sospecho que sería necesario que el anterior, pero no veo cómo. (Sé que $\mathbb{Z} + \phi\mathbb{Z}$ es un UFD, mientras que $\mathbb{Z} + \sqrt{-3}\mathbb{Z}$ no lo está).

cualquier sugerencias?

Comentario he inicialmente cometido un error en el signo de $1$ en la fracción, he editado este en rojo.

Answer 1

Deje $\phi$ ser un tercio de la raíz de la unidad, es decir,$\phi^3=1$$\phi^2+\phi+1=0$.

El truco es el siguiente:

Lema. Si se nos da algún elemento $y=a+b\phi \in \mathbb Z+\phi\mathbb Z$, entonces uno de los tres elementos de la $y,y\phi,y\phi^2$ está contenida en $\mathbb Z+\sqrt{-3}\mathbb Z$.

Prueba: Tenemos $\phi^2=-(\phi+1)$, es decir,$y\phi^2=-(y\phi + y)$. La suma de dos elementos en $(\mathbb Z+\phi\mathbb Z)\setminus (\mathbb Z+\sqrt{-3}\mathbb Z)$ es claramente en $\mathbb Z+\sqrt{-3}\mathbb Z$. Por lo que si ambos sumandos en la RHS no están contenidas en $\mathbb Z+\sqrt{-3}\mathbb Z$, entonces el lado izquierdo. $\small\Box$

Además tenemos a $\phi^3=1$, es decir,$$y^3=(y\phi^2)^3=(y\phi)^3.$$ Thus one of those three guys is the $ w$ buscar.

---

Tenga en cuenta que esta solución es de alguna manera a priori claro, no hay ninguna posibilidad de evitar este Lema: Si $x=y^3=w^3$, $\frac{w}{y}$ es un tercio de la raíz de la unidad, es decir,$w \in \{y,y\phi,y\phi^2\}$. Así que la verdad de la Lexema me resultó fue la única oportunidad que tenía para empezar.

Answer 2

Supongamos $x=y^3$ donde$y \in \mathbb{Z} + \phi\mathbb{Z}$,$\phi = \displaystyle{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}$.

Luego

\begin{align*} \;y &\in \mathbb{Z} + \sqrt{-3}\mathbb{Z}\\[4pt] &\qquad\;\;\text{or}\\[4pt] \;y &= \frac{a + b\sqrt{-3}}{2},\;\text{where %#%#% are odd integers}\\[4pt] \end{align*}

En el primer caso, simplemente deje $a,b$, y hemos terminado.

Por lo tanto, asumir el segundo caso.

Desde $w=y$ son impares, ya sea

$$a \equiv b\;(\text{mod}\,4)\;\;\text{o}\;\; \equiv -b\;(\text{mod}\,4) \qquad\qquad\;\,$$

Si $a,b$deje $a \equiv b\;(\text{mod}\,4),\;$.

\begin{align*} \text{Then}\;\;w &= \phi\, y\\[6pt] &= \left(\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\right)\left(\frac{a + b\sqrt{-3}}{2}\right)\\[6pt] &= \left(-\frac{a+3b}{4}\right) + \left(\frac{a-b}{4}\right)\sqrt{-3}\\[6pt] &\in\, \mathbb{Z} + \sqrt{-3}\mathbb{Z}\\[8pt] \text{and}\;\;w^3 &= (\phi y)^3 = \phi^3y^3 = (1)(y^3) = y^3 = x,\;\text{as required}\\[4pt] \end{align*}

Si $w = \phi\,y$deje $a \equiv -b\;(\text{mod}\,4),\;$.

\begin{align*} \text{Then}\;\;w &= \phi^2 y\\[6pt] &= \left(\frac{-1 - \sqrt{-3}}{2}\right)\left(\frac{a + b\sqrt{-3}}{2}\right)\\[6pt] &= \left(-\frac{3b-a}{4}\right) + \left(-\frac{a+b}{4}\right)\sqrt{-3}\\[6pt] &\in\, \mathbb{Z} + \sqrt{-3}\mathbb{Z}\\[8pt] \text{and}\;\;w^3 &= (\phi^2 y)^3 = (\phi^2)^3y^3 = (1)(y^3) = y^3 = x,\;\text{as required}\\[4pt] \end{align*}

Por lo tanto, en todos los casos, de que los requisitos especificados se cumplen.

Esto completa la prueba.