Suma de números en una agrupación pregunta

Question

Una persona agrupan los números de la siguiente manera: $$\left \{ 1 \right \},\left \{ 3,5 \right \},\left \{ 7,9,11 \right \},\left \{ 13,15,17,19 \right \},...$$ ¿Cuál es la suma de los números en la $9$th agrupación?

Tengo la respuesta como $729$, por la inspección. Yo quería intentarlo de nuevo con más matemáticamente método así que aquí está mi progreso.

Me di cuenta de que la suma de los primeros a $n$ grupos que contienen números impares es $\frac{1}{2}n(n+1)$. También sé que la suma de los primeros a $k$ términos raros es $k^{2}$. Así que me dijo que para obtener la suma de los términos de la $n$th grupo, debo agregar suma de los números en la $n$th grupo y restar de la suma de los primeros a $(n-1)$ grupos. Que es: $$ [\frac{1}{2}n(n+1)]^{2} - [\frac{1}{2}n(1+(n-1))]^{2}$$ $$= \frac{1}{2}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2}$$. Cuando he conectado en $n = 9$, no me $729$. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Utilice el hecho de que la aritmética de la suma de los números impares es un cuadrado:

$$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$$

La suma de la agrupación será por lo tanto la diferencia de dos cuadrados. Que las plazas? Esos también son progresión aritmética $1,2,3,4...n$$a_n = n(n+1)/2$. Por lo que debe ser:

${a_{n+1}}^2 - {a_n}^2 = ((n+1)(n+2)/2)^2 - (n(n+1)/2)^2 = (n+1)^2((n+2)^2-n^2)/4 = (n+1)^2(2n+2)2/4 = (n+1)^2(n+1) = (n+1)^3$ $9^3 = 729$ $n = 8$ . Así que me parece que tienes razón.