¿Una variable aleatoria procede de una distribución de probabilidad o es a la inversa?

Question

Tengo curiosidad por saber qué afirmación es correcta:

1. una variable aleatoria procede de una distribución de probabilidad O
2. una distribución de probabilidad se crea a partir de la observación del comportamiento de una variable aleatoria

Answer 1

¡Interesante pregunta! La respuesta es que puede ir en ambos sentidos.

Para cualquier distribución de probabilidad F, es decir, una función cadlag (continua por la derecha con límites por la izquierda) $F: (-\infty, \infty) \to [0,1]$ satisfaciendo

\begin{equation} \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim_{x \to \infty} F(x) = 1, \end{equation}

existe una variable aleatoria $X$ con $\mathbb{P}(X \leq x) = F(x)$ . En concreto, esto significa que existe un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ y una función medible $X: \Omega \to \mathbb{R}$ con $\mathbb{P}(\{\omega: X(\omega) \leq x\}) = F(x)$ por cada $x \in \mathbb{R}$ . Según la función de distribución $F$ puede haber muchos espacios probabilísticos posibles que funcionen, pero normalmente $\Omega$ se queda en un segundo plano, y no pensamos mucho en ello. (Resulta que el espacio $\Omega = [0,1]$ con el campo sigma de Borel y la medida de Lebesgue siempre funciona, por lo que se puede suponer que $X$ vidas si quieres).

Por el contrario, si $X$ es un mapa medible de un espacio de probabilidad $\Omega$ en $\mathbb{R}$ entonces la función $F_X: \mathbb{R} \to [0,1]$ se denomina función de distribución de $X$ definido como $F_X(x) = \mathbb{P}(\{\omega: X(\omega) \leq x\})$ . Se pueden utilizar los axiomas de un espacio de probabilidad para demostrar que $F_X$ satisface todas las propiedades mencionadas anteriormente.

Filosóficamente, ¿qué está pasando? A grandes rasgos, a un estadístico le gustaría la primera definición. La idea es: observamos los datos de algún proceso y formamos una distribución empírica a partir de ellos. Suponemos que existe una variable aleatoria $X$ generando los datos, y podemos tratar de entender cómo la distribución empírica se relaciona con la verdadera distribución de $X$ .

Para un matemático, el otro orden es más típico. Definimos procesos o variables de forma abstracta utilizando variables aleatorias en espacios de probabilidad, y demostramos teoremas sobre ellas, o sobre las correspondientes funciones de distribución.

Answer 2

Cualquier variable aleatoria es una función medible real en el espacio dado, dotada de alguna $\sigma$ -Álgebra. Induce la función de masa de probabilidad, en caso de que la imagen sea un conjunto discreto, etc.