¿Por qué el de Lagrange de segundo grado en $\dot{q}$?

Question

Mi maestro dijo que sólo considere la posibilidad de Lagrangians que son de segundo grado en $\dot{q}$, y no hemos de tomar otras Lagrangians. Yo no podía entender por qué. ¿Alguien puede por favor explicar esto?

Answer 1

Para la simplicidad, es la respuesta corta. El Lagrangiano no necesita ser cuadrática para la física. Mi primer instinto fue algún tipo de fuerza de arrastre, pero en general los casos fueron elaboradas hace bastante tiempo (1955):

http://prola.aps.org/abstract/PR/v99/i2/p587_1

Esencialmente, ya que en muchos problemas de física no consideramos que no constantes aceleraciones o dependiente del tiempo de los potenciales (nada como $U(x,v,t)$), $\dot{q}^2$ está asociada a la energía cinética y sólo la energía cinética.

EDIT: ejemplo Concreto. $L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-\lambda \dot{q}^3$, el potencial aquí es $U=\lambda \dot{q}^3$. De Euler-Lagrange nos da

$m\ddot{q}-3\lambda (2\dot{q}\ddot{q})=0$

Para que los posibles da las ecuaciones de movimiento con velocidad constante. No es exactamente lo que esperábamos. Así, las cosas se ponen extrañas cuando queremos asociar Lagrangians a 'habitual' phyisics problemas a menos que acabamos de decir "de segundo grado en $\dot{q}$!"

EDIT: Diversión Generalización! (Inspirado por elfmotat la respuesta) Tome genérico de Lagrange $L=\sum_n a_n\dot{q}^n+f(q)$ (Poniendo toda velocidad en el primer término genérico función de la posición en el segundo). Entonces

$\frac{\partial L}{\partial \dot {q}}=\sum_n na_n \dot{q}^{n-1},\qquad\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\sum_n n(n-1)a_n\dot{q}^{n-2}\ddot{q}$

De modo que las ecuaciones de movimiento son

$\sum_n n(n-1)a_n\dot{q}^{n-2}\ddot{q}=\frac{\partial f(q)}{\partial q}$

Así, sólo cuando se $n=2$ es este "bonito". A continuación, $f(q)$ es algo así como el potencial y esta última línea es la 2ª Ley de Newton.

Answer 2

Una simple respuesta es que el término en el de Euler-Lagrange las ecuaciones que involucran $\dot{q}$ es:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$

Por lo $L$ tiene que ser de segundo grado en $\dot{q}$ o de lo contrario el tiempo de derivados será proporcional a algo distinto de $\ddot{q}$.