Suma de subconjuntos

Question

Me siento tonto preguntar esto, ya que debe ser capaz de resolverlo, pero las combinaciones son mi enemigo.

Considere la posibilidad de una colección de $x_1, \ldots, x_n$ de los números reales y denotan su suma por $s = x_1 + \ldots + x_n$. Para $1 \leq p \leq n$ denotamos por $$s_p = \sum_{|I| = p} \sum_{i \in I} x_i$$ la suma de los elementos de la $x_i$ sobre todos los subconjuntos de a $I \subset \{1, \ldots, n\}$ de cardinalidad $p$.

Es $s_p = A_{n,p} \, s$ para algunos entero $A_{n,p}$? Podemos escribirla?

Answer 1

Sí, se puede. Para cada elemento, se puede seleccionar $p-1$ $n-1$ otros elementos para formar la admisión de un subconjunto, por lo que la suma es

$$s_p=\binom{n-1}{p-1}s\;.$$

Answer 2

$A_{n,p} = {n - 1 \choose p - 1} =$ el número de subconjuntos de a $\{1, ..., n-1\}$ del tamaño de la $p - 1$.

Answer 3

Cuántas veces un $x_i$ es contado en $s_p$?