Pregunta sobre la búsqueda de la norma de un almacén operador lineal

Question

Vamos a ser H un espacio de Hilbert. Supongamos $(i_k)_1^\infty$ es una completa ortonormales secuencia en H. Deje $a_k \in \mathbb{C}$$k \in \mathbb{N}$. Suponga que hay una limitada operador lineal $T:H \rightarrow H$ tal que $T(i_k) = a_ki_k$ dado que ($a_k$), $\forall k \in \mathbb{N}$ está acotada. Queremos encontrar a $||T||$.

Sabemos que $||T|| = sup\{||Tx||: x \in H, ||x|| \le 1\}$. Para cualquier $x \in H$ podemos escribir $x = \sum_{n=1}^\infty (x, i_n)i_n $, por lo $||x||^2 = \sum_{n=1}^\infty |(x,i_n)|^2$ y por Cauchy-Schwarz tenemos $|(x,i_n)| \le ||x||$. Sospecho que $||T|| = sup_k |a_k|$ pensar de forma intuitiva, pero no sabe cómo demostrar que. Ya sabemos que T es lineal, entonces: $Tx = \sum_{n=1}^\infty (x, i_n)Ti_n = \sum_{n=1}^\infty (x, i_n)a_ni_n.$ a partir De esta $||Tx||^2 = \sum_{n=1}^\infty |(x, i_n)|^2|a_ni_n|^2 \le (sup|a_n|)^2||x||^2$ por la desigualdad de Bessel, a continuación, $||T|| \le sup|a_n|.$ Si esto es correcto, ¿cómo podemos mostrar la igualdad?

Answer 1

Como $\Arrowvert Ti_k \Arrowvert = |a_k|$, usted tiene $\Arrowvert T \Arrowvert \geq |a_k|$ todos los $k$.

Se probó $\Arrowvert T \Arrowvert \leq \sup_k|a_k|$

Así tenemos la igualdad.

Answer 2

Así que estamos tratando de mostrar a $||T|| = \sup|a_k|$ y me han demostrado en el intento de la pregunta anterior que $||T|| \ge \sup|a_k|$. Para mostrar que la otra dirección, utilizamos el hecho de que cualquier operador lineal $T:A \rightarrow A$, $||T|| \ge ||Tx||$ para todos los $x \in A$ tal que $||x|| = 1$. En nuestro caso elegimos $x = i_n$ $||T|| \ge ||Ti_n|| = |a_n|$ todos los $n \in \mathbb{N}$$||T|| \ge sup|a_n|$. Por lo tanto,$||T|| = \sup|a_k|$.