Demostrar por inducción que $2^n \le 2^{n+1}-2^{n-1} - 1$ . ¿Mi prueba de sentido?

Question

No estoy seguro de si esta prueba no es válida o no, y podría utilizar algo de feedback.

Sea P la suposición de que la $2^n \le 2^{n+1}-2^{n-1} - 1$ para todos los enteros positivos n.

Caso Base: Deje que n=1

$2^1 \le 2^2-2^0-1$

$2\le2$

Supongamos que P es verdadera para algún entero positivo n=k

$$2^{k+1}=2*2^k$$

Por hipótesis inductiva:

$$2*2^k \le 2(2^{k+1}-2^{k-1}-1)$$ $$2^{k+1} \le 2^{k+2}-2^{k}-2$$

Ya sabemos $2^{k+1} \le 2^{k+2}-2^{k}-2$, también sabemos $2^{k+1} \le 2^{k+2}-2^{k}-1$ porque el primero siempre es menor.

Esto demuestra que: $$2^k \le 2^{k+1}-2^{k-1} - 1\Rightarrow 2^{k+1} \le2^{k+2}-2^{k}-1 $$

Answer 1

Se ve bien!

No hay realmente ninguna necesidad particular para la inducción, sin embargo, si usted sabe que $x\mapsto 2^x$ es una función creciente. En su lugar, muestra que $$2^{n+1}=2^n+2^n=2^n+2^{n-1}+2^{n-1},$$ so since $n-1\ge0$ for all positive integers $n,$ we have $2^{n-1}\ge 2^0=1,$ so that $$2^{n+1}\ge 2^n+2^{n-1}+1,$$ a partir de la cual el resultado de la siguiente manera.

En general, se puede utilizar este método para mostrar que, para los números reales $x,$ tenemos $2^x\le2^{x+1}-2^{x-1}-1$ si y sólo si $x\ge1.$