La evaluación de $\iiint x\,dx\,dy\,dz$ limitado por el paraboloide de ecuación de $x=4 y^2+4z^2$ & de avión $x=4$

Question

Hola tenemos el siguiente problema:

$\iiint x\,dx\,dy\,dz$ limitado por el paraboloide de ecuación de $x=4 y^2+4z^2$ y para el avión $x=4$.

Estamos teniendo dificultades en encontrar los límites de cada integrante y cómo convertir a coordenadas polares.

Podría ofrecer algunos consejos? Me puede dar más detalles sobre los comentarios sobre lo que hemos tratado. Gracias.

Answer 1

Normalmente, las coordenadas polares se dan como $x=r\cos \theta $$y=r\sin \theta $, pero que no necesariamente tiene que ser así. En este caso, creo que es prudente usar el $y=r\cos \theta $$z=r\sin \theta $. Entonces, sus límites de integración sería desde el paraboloide y el plano (en $dx$), a continuación, a partir de la cero a la radio de la delimitación del círculo en el $y$-$z$ plano, a continuación, a partir de la cero a $2\pi$ $\theta$ a completar la revolución completa alrededor del círculo.

Answer 2

Una idea: hacer una sustitución de cambio $\,x\leftrightarrow z\,$, de modo que usted tiene el paraboloide $\,z=4x^2+4y^2\,$ y el avión$\,z=4\,$, y ahora el uso de las coordenadas cilíndricas y la simetría del paraboloide alrededor de la $\,z-\,$ eje:

$$\iiint z\,dx\,dy\,dz=4\int_0^1dr\int_0^{\pi/2}d\theta\int_{4r^2}^4 4r^3\,dz$$

Por favor, tenga en cuenta que $\,4r^3=4r^2\cdot r=z|J|$ donde $|J|$ es el Jacobiano de la transformación en coordenadas cilíndricas.

Añadido: también podemos hacer lo siguiente:

$$\begin{align} \iiint z\,dx\,dy\,dz &= 4\int_0^1dr\int_0^{\pi/2}d\theta\int_{4r^2}^4 zr\,dz\\ & = 2\pi\int_0^1r\left[\frac{1}{2}z^2\right]\Bigg|_{4r^2}^4\,dr \\ & = \pi\int_0^1(16r-16r^5)\,dr \\ & = 16\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right) \\ & = \frac{16\pi}{3} \end{align}$$

cual es la respuesta correcta de acuerdo con el libro. Yo todavía no estoy seguro de lo que salió mal con el primer método que os dejo aquí para que los demás verificación y comentarios.