Para que real $x$ es este (monstruo) de la serie convergente?

Question

Estoy practicando para un examen, y llegó a este ejemplo:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left (\frac{x^2n^2-2|x|^3n}{1+2xn^2} \right)^{7n}$$

He reorganizado la expresión para tratar de comprobar que $x$ la expresión

$$\frac{1}{ \Big(\frac{1+2xn^2}{x^2n^2-2|x|^3n} \Big) ^{7n}}$$

es menor que $1/n$ (ya que es convergente entonces), pero fue en vano-los exponentes se me está matando, y comparando $1/n^{7n}$ pierde algunas de las soluciones si no me equivoco.

Prueba de razón tengo del mismo modo desordenado. Cómo abordar esto?

Answer 1

Si se aplica la raíz de la prueba, que le dará una buena idea de la región de convergencia.

Recordemos que una serie de $\sum a_n$ converge si $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1$ y diverge cuando es mayor que 1.

Lo bueno aquí es que el $\sqrt[n]{\cdot}$ va a deshacerse de los $n$ en el exponente.

Así que podemos ver que $$\sqrt[n]{ \left| \left(\frac{x^2n^2 - 2|x|^3n}{1+2xn^2} \right)^{7n}\right| } = \left(\left|\frac{x^2n^2 - 2|x|^3n}{1+2xn^2}\right| \right)^{7}$$

En cualquier caso, el valor de limitación de la secuencia es $$\left(\frac{x^2}{2|x|}\right)^7 = \left(\frac{|x|}{2}\right)^7$$ Esto es mediante la comparación de líder de los coeficientes dentro de los paréntesis. Finalmente, $$(|x|/2)^7 < 1 \implies |x|/2 < 1 \implies |x| < 2.$$

La única cosa que queda es el caso cuando el límite es en realidad igual a 1. Que consiste en introducir manualmente $x=2$ $x=-2$ (el borde de los casos) y en busca de otra prueba que pueda demostrar que convergen o divergen.