Todo espacio metrizable de Toronto es discreto.

Question

$X$ es un espacio de Toronto si para cada $Y \subseteq X$ tal que $|Y|=|X|$ entonces $Y$ es homeomorfo a $X$ .

Intento demostrar que todo espacio metrizable de Toronto es discreto. Tengo lo siguiente Pregunta a un topólogo que contiene un resumen de la prueba. Sin embargo, utiliza conceptos de la teoría descriptiva de conjuntos, en particular algo sobre una resolución de Cantor-Bendixson, que nunca he oído antes ni he podido encontrar nada al respecto.

¿Alguien tiene alguna pista/consejo sobre cómo probar esto? ¿Qué es una resolución Cantor-Bendixson?

---

La siguiente es una versión MathJaxificada de la prueba dada en el enlace anterior:

Dejemos que $\DeclareMathOperator{\CL}{cl}X$ sea un espacio métrico de Toronto no discreto: significa que si $|X| = \kappa$ y $Y$ es un subconjunto de $X$ , $|Y| = \kappa$ entonces $Y$ es homeomorfo a $X$ . Entonces

1. Hay un punto aislado en $X$ . (Elija dos conjuntos abiertos no vacíos conjuntos $U$ , $V$ en $X$ . Entonces la unión de $X \setminus U$ y $X \setminus V$ es $X$ por lo que al menos uno de estos conjuntos tiene cardinalidad $\kappa$ : suponer que es $X \setminus V$ . Si $y$ es un punto en $U$ entonces $Y = (X \setminus V) \cup \{y\}$ es homeomorfo a $X$ y tiene un punto aislado).

2. El conjunto $S$ de puntos aislados es denso en $X$ . (Si $\CL(S)$ tiene cardinalidad $\kappa$ entonces hemos terminado. De lo contrario, $X \setminus \CL(S)$ tiene cardinalidad $\kappa$ y no contiene un punto aislado, al contrario que 1).

   De ello se deduce que si $X$ no es discreto, entonces $|S| = \lambda < \kappa$ especialmente la densidad de $X$ es menor que $\kappa$ .

3. $X$ se dispersa. (Para $Y$ subconjunto $X$ dejar $S(Y)$ denotan el conjunto de puntos aislados puntos en $Y$ . Entonces pon $S_0 = S(X)$ , $S_\alpha = S(X \setminus \bigcup \{ S_\beta : \beta < \alpha \})$ para $\alpha < \kappa$ . Como $|S_\alpha| = \lambda$ por cada $\alpha < \kappa$ , $S_\alpha$ es denso y abierto en $X \setminus \bigcup \{ S_\beta : \beta < \alpha \}$ . Poner $Y = \bigcup \{ S_\beta : \beta < \alpha \}$ . Así obtenemos una resolución de Cantor-Bendixson de $Y$ .)

Hasta ahora, sólo hemos utilizado ese $X$ es Hausdorff. Si $X$ es métrico entonces (como el peso y la densidad de un espacio métrico son iguales y la cardinalidad de un espacio disperso es menor o igual que su peso, obtenemos una contradicción: $\kappa = |X| \leq \text{density of }X \leq \lambda < \kappa$ .

Answer 1

Aquí hay algunas ideas de las partes de la prueba (que implica sólo conceptos de topología general y un poco de teoría de conjuntos):

1. Tenga en cuenta que $Y = ( X \setminus V ) \cup \{ y \}$ es un subespacio de $X$ de cardinalidad $\kappa$ y, por tanto, es homeomorfo a $X$ . También, $y$ es un punto aislado de $Y$ (ya que $V \cap Y = \{ y \}$ ), por lo que debe ser que $X$ también tiene un punto aislado.

2. Obsérvese que el conjunto de puntos aislados de $\CL(S)$ es exactamente $S$ por lo que los puntos aislados de $\CL(S)$ son densos en $\CL(S)$ . Si $| \CL(S) | = \kappa$ entonces $\CL(S)$ es homeomorfo a $X$ y, por tanto, el conjunto de puntos aislados de $X$ (A saber, $S$ ) es denso en $X$ . Si $| \CL(S) | < \kappa$ entonces $Y = X \setminus \CL(S)$ debe tener cardinalidad $\kappa$ y, por tanto, es homeomorfo a $X$ . Tenga en cuenta que $Y$ es un subespacio abierto de $X$ y así cada punto aislado de $Y$ también debe ser un punto aislado de $X$ . Pero $Y$ no contiene puntos aislados de $X$ , lo que significa que $Y$ no tiene puntos aislados. Pero esto contradice el hecho de que $Y$ es homeomorfo a $X$ ya que, por lo anterior, $X$ ¡tiene puntos aislados!

   Desde $X$ no es discreto, entonces $X$ tiene puntos no aislados. Como cada punto de $S$ está aislado en $S$ no puede ser que $|S| = \kappa$ (ya que de lo contrario $S$ sería homeomorfo a $X$ ). Por lo tanto, $|S| = \lambda < \kappa$ . De ello se desprende que $d(X) \leq \lambda$ (donde $d(X)$ denota el densidad de $X$ : el cardinal más pequeño de un subconjunto denso de $X$ ).

3. Para ver que $X$ está dispersa, es un poco más simple, utilizando la idea de esta pregunta suya . Basta con formar la secuencia $\langle I_\alpha \rangle_{\alpha < \kappa}$ como lo hice en mi respuesta (nótese el corte). Por inducción de $\alpha$ podemos demostrar que $| I_\alpha | = \lambda$ y $| X \setminus \bigcup_{\xi < \alpha} I_\xi | = \kappa$ . (Esto último significa que en cada etapa $X \setminus \bigcup_{\xi < \alpha} I_\xi$ es homoemórfico a $X$ y por tanto su conjunto de puntos aislados tiene cardinalidad $\lambda$ . Tomando $Y = \bigcup_{\alpha < \kappa} I_\alpha$ , tenga en cuenta que $Y$ está dispersa, y tiene cardinalidad $\kappa$ y, por tanto, es homeomorfo a $X$ . Esto significa que $X$ se dispersa.

   Para cada $x \in X$ el altura de $x$ en $X$ , $\mathrm{ht}(X,x)$ es el único $\alpha < \kappa$ tal que $x \in I_\alpha$

Para el final utilizaré las siguientes ideas:

• $d(X) = w(X)$ para cualquier espacio métrico $X$ (donde $w(X)$ denota el peso de $X$ la menor cardinalidad de una base para $X$ ); y
• $|X| \leq w(X)$ para cualquier espacio disperso $X$ .

El primero es un hecho relativamente básico que se puede encontrar en casi cualquier texto de topología. El segundo se deriva del hecho de que dada cualquier base $\mathcal{B}$ para $X$ para cada $x\in X$ hay un $U_x \in \mathcal{B} $ tal que $U_x \subseteq \bigcup_{\alpha \leq \mathrm{ht}(X, x)} I_\alpha$ y $U_x \cap I_{\mathrm{ht}(X, x)}=\{x\} $ . Esto produce una inyección $X \to \mathcal{B}$ .

Así que de todo esto tenemos que $$\kappa = |X| \leq w(X) = d(X) = \lambda < \kappa,$$ ¡una contradicción!