Para$a > 0$,$x \in \mathbb{R}^n$, muestre que$x \mapsto \frac{ax}{\sqrt{a^2 - |x|^2}}$ es suave

Question

Deje $a > 0$, y establecer $B_a = \{x \in \mathbb{R}^n : |x|^2 < a \}$. Deje $\phi : B_a \to \mathbb{R}^n$ ser dado por $\phi(x) = \frac{ax}{\sqrt{a^2 - |x|^2}}$. Demostrar que $\phi$ es un diffeomorphism de $B_a$ a $\mathbb{R}^n$.

Este problema es de Guillemin y Pollack, el libro de Topología Diferencial. Estoy trabajando a través de él como un auto-estudio.

Es claro que $\phi(x)$ es invertible, uno puede calcular la inversa y encontrar lo que se $\phi^{-1}(y) = \frac{ay}{\sqrt{a^2 + |y|^2}}$ (echa un vistazo a este post: ¿Qué es la inversa de la función de $x \mapsto \frac{ax}{\sqrt{a^2 - |x|^2}}$?). Así que, a ver que $\phi$ es un diffeomorphism, solo me falta ver que es suave (es decir, las funciones de los componentes $\frac{ax_i}{\sqrt{a^2 - |x|^2}}$ tienen derivadas parciales continuas de todos los pedidos).

Ahora, es sobre todo evidente para mí que cada una de las $\frac{ax_i}{\sqrt{a^2 - |x|^2}}$ es realmente suave. Prácticamente hablando, deberíamos ser capaces de calcular las derivadas parciales de esta expresión para siempre, como nos gusta. Habría que utilizar el cociente regla de una y otra, y nunca nos hubiéramos cualquier singularidades causando problemas.

Pero estoy buscando un método más formal, para mostrar que $\phi$ es suave. Alguna sugerencia? Tal vez hay una técnica general/teorema para demostrar que "bonita" de las funciones de los componentes como estos, que contienen nada más que fracciones o radicales, son lisas?

Gracias de antemano por las soluciones y sugerencias.

Answer 1

El mapa $\mathbb R^n\to\mathbb R$, $x\mapsto |x|^2$ es suave, las constantes son trivialmente suave, sumar, restar, multiplicar, dividir es suave como el mapa de $\mathbb R\times\mathbb R\to \mathbb R$ (o como mapa de $\mathbb R\times (\mathbb R\setminus\{0\})$ para la división), así como la multiplicación escalar como mapa de $\mathbb R\times \mathbb R^n\to\mathbb R^n$. Tomando raíces cuadradas es suave en $\mathbb R_{>0}$. Finalmente, la composición de las funciones lisas es suave. Por lo tanto su función es suave así: es la composición de $ x\mapsto (x,|x|^2)$ $(u,v)\mapsto(au,a^2-v)$ ,$(u,v)\mapsto(u,\sqrt v)$,$(u,v)\mapsto(u,\frac1v)$, y, finalmente,$(u,v)\mapsto vu$.

En esencia, prácticamente nada escrito como una simple expresión es suave, solo busquen $|x|$ sin cuadrar y $\sqrt{}$ a cero (y por supuesto, el dominio de definición).

Answer 2

Intenta probar cada uno de los puntos:

1. $x\mapsto |x|^2$ es suave.
2. $\psi:]-a,a[\to\mathbb{R}_+$, $t\mapsto \dfrac{a}{\sqrt{a^2-t^2}}$ es suave.
3. Las composiciones de funciones suaves son suaves.
4. Si$U$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$,$f:U\to\mathbb{R}^m$ y$\lambda:U\to\mathbb{R}$ son suaves, entonces$\lambda.f$ es suave.

Por lo tanto,$\phi$ es suave.