Me he encontrado con esto en un curso online de PDE que estoy siguiendo, pero nunca he estado realmente expuesto a ello. He buscado las definiciones 'formales' pero nunca he entendido realmente ningún concepto mirando la definición formal, matemática así que ¿puede alguien dilucidar este concepto?
Respuestas
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La derivada no es más que la tasa de cambio de una función de una variable. Pues bien, la derivada direccional es la tasa de cambio que se obtiene tras convertir una función de muchas variables en una función de una variable. Esto se hace eligiendo una "dirección" y recorriendo esa dirección. Como señala qaphla en un comentario, lo que llamamos "derivada parcial" es exactamente una derivada direccional tomada en una dirección determinada. Así que la parcial con respecto a $x$ es el direccional en el $x$ dirección, etc.
Por ejemplo, si quiero tomar una derivada direccional de $f(x, y) = xy$ en $(a, b)$ en la dirección $u = \langle 1, 2\rangle$ entonces mi nueva función es $$h(t) = f(a + t, b + 2t) = (a + t)(b + 2t) = ab + 2at + bt + 2t^2$$ y su derivado es $h' = 2a + b + 4t$ . En $(a + t, b + 2t)$ el punto $(a, b)$ corresponde a $t = 0$ así que $\partial_uf(a, b) = h'(0) = 2a + b$ .
Por otro lado, si quiero encontrar el parcial con respecto a $x$ entonces elijo el $x$ dirección $u = \langle 1, 0\rangle$ . Me sale $h(t) = (a + t)b$ , $h'(t) = b$ y así $\partial_xf(a, b) = b$ . Fíjate que esto es exactamente lo que obtengo si sigo las reglas normales de diferenciación $f$ y tratar $x$ como variable y tratar $y$ como si se tratara de un número (y, por tanto, tuviera derivada $0$ ).
Asko
Puntos
21
Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función diferenciable. Entonces en un punto $a\in\mathbb{R}$ la derivada $f'(a)$ le indica la rapidez con la que $f(x)$ aumenta (o disminuye, si $f'(a)$ es negativo) como $x$ aumenta, por $x$ cerca de $a$ . Ahora bien, si tenemos una función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ no tiene sentido hablar de $x$ "aumentando", sino que podemos preguntarnos cómo $f(x)$ cambios como $x$ se mueve en una dirección determinada $u$ , para $x$ cerca de un punto $a\in \mathbb{R}^n$ . Esto es lo que la derivada direccional $\partial_uf(a)$ nos dice.
