Muestre que$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)<1$ implica$f(x_0)<x_0$ para algunos$x_0$

Question

Deje $f:[0,\infty)\rightarrow R $ ser continuamente una función derivable. Demostrar que si

$ \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)<1 $

entonces

$ f(x_0)<x_0 $ para algunos $x_0$ lo suficientemente grande. (Un ejemplo de una función que satisface estos suposición es $f(x) = \sqrt x $). Estoy luchando con la prueba. He probado con el valor medio teorema:

Elija $0<x<y$. A continuación, por el MVT no esists un número $c \in (x,y)$ tales que

$ \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(c) $

Pero en este punto me quedé atrapado... El resto de información que tengo es que existe un número $M>0$ que si $x>M$ entonces $f'(x)<1$ (el límite de las condiciones establecidas en la cv). Hay una manera de combinar estos dos hechos, con el fin de demostrar lo que yo quiero?

Answer 1

Tome $r\in\left(\lim_{x\to\infty}f'(x),1\right)$ . Como $\lim_{x\to\infty}f'(x)<r$ , hay un $M>0$ tal que $x\geqslant M\implies f'(x)<r$ . Luego, cuando $x>M$ , por el teorema del valor medio $$\frac{f(x)-f(M)}{x-M}=f'(c)<r,$$for some $ c$ between $ M% #% x$ and $$. So,$$x>M\implies f(x)<f(M)+r(x-M).$ x$But, if $ f (M) + r (xM) <x$ is large enough, we have $ 0 <r <1$, since $ x$, and therefore, if $ f (x) <x $ .

Answer 2

Deje $g(x) =f(x) - x$ , de modo que $g'(x) \to L<0$ como $x\to\infty$ y, por tanto, $g'(x) $ es negativo como $x\to\infty $. Se deduce pues que la $g(x)$ eventualmente disminuye y, por tanto, o bien tiende a un límite de $M$ o a $-\infty$. Si tiende a $-\infty$ entonces $g$ es eventual negativa y hemos terminado. Pero si $g(x) \to M$ , a continuación, por medio del teorema del valor $g'(\xi) = g(x+1)-g(x)\to 0$ y esto contradice que $g'(x) \to L<0$.

Nota: no es necesario suponer que $f$ es continuamente diferenciable y sólo tenemos la hipótesis de que la $\lim_{x\to\infty} f'(x) $ existe y este límite es menor que $1$.

Answer 3

Así que creo que es seguro decir que la hipótesis de

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x) < 1 \tag 1$

nos da dos datos importantes sobre la función de $f(x)$:

en primer lugar, que $\lim_{x \to \infty} f'(x)$ realmente existe, que es, hay algo de $L \in \Bbb R$ tal que, dado cualquier $\epsilon > 0$, también existe una $M_\epsilon \in \Bbb R$ tales que

$x \ge M_\epsilon \Longrightarrow \vert f'(x) - L \vert < \epsilon; \tag 2$

segundo, que en realidad

$L < 1; \tag 3$

entonces

$1 - L > 0, \tag 4$

de modo que podemos elegir, de decir

$\epsilon \le \dfrac{1 - L}{2} = \dfrac{1}{2}(1 - L); \tag 5$

entonces podemos escribir (2) en la forma

$x \ge M_\epsilon \Longrightarrow L - \epsilon < f'(x) < L + \epsilon \le L + \dfrac{1}{2}(1 - L) = \dfrac{1}{2}(L + 1) < 1; \tag 6$

la clave aquí es que por tomar $x$ suficientemente grande, podemos asegurar $f'(x)$ está limitada por un número, en este caso $(1/2)(L + 1)$, que es estrictamente menor que $1$ que, intuitivamente, nos muestra que $f(x)$ crece más lentamente que $x$ para $x$ lo suficientemente grande.

Ahora considere la función $x - f(x)$; $\xi \ge M_\epsilon$ hemos

$x - f(x) - (\xi - f(\xi)) = \displaystyle \int_\xi^x (s - f(s))' \; ds$ $=\displaystyle \int_\xi^x (1 - f'(s)) \; ds \ge \int_\xi^x \dfrac{1}{2}(1 - L) \; ds = \dfrac{1}{2}(1 - L)(x - \xi), \tag 7$

o

$x - f(x) \ge \dfrac{1}{2}(1 - L)(x - \xi) +(\xi - f(\xi)) \to \infty \; \text{as} \ x \to \infty \tag 8$

desde

$\dfrac{1}{2}(1 - L) > 0, \tag 9$

es decir, el lado derecho de (8) describe una línea de pendiente positiva; además, ver a partir de (8) que esta línea intersecta la $x$-eje en ese únicas $x$ tales que

$\dfrac{1}{2}(1 - L)(x - \xi) +(\xi - f(\xi)) = 0, \tag 9$

es decir, donde

$x = -\dfrac{2(\xi - f(\xi))}{1 - L} + \xi; \tag{10}$

por lo tanto

$x > f(x) \tag{11}$

para

$x > -\dfrac{2(\xi - f(\xi))}{1 - L} + \xi. \tag{12}$

Nota Bene: no es necesario suponer $f(x)$ , en realidad tiene un límite de $x \to \infty$; examen del argumento anterior revela que el resultado deseado, $f(x) < x$ para suficientemente grande $x$, se une bajo el supuesto más débil que

$f'(x) \le L < 1, \; \forall x \; \text{"big enough"}. \tag{13}$

Final de la Nota.