Algunas dudas en la teoría de las categorías

Question

Soy un principiante en la Teoría de Categorías y me he encontrado con dos dudas en el tema:

Considere $\mathcal U$ para ser una categoría y $X,Y$ sean objetos en $\mathcal U$ . Entonces, si $f:X\to Y$ es un morfismo entonces a sección de $f$ se define como un morfismo $g:Y\to X$ tal que $f\circ g=id_Y$ .

¿Es trivial que este morfismo $g$ ¿siempre existe?

Dejemos que $\mathcal U$ y $\mathcal U'$ sean dos categorías y $Fun(\mathcal U,\mathcal U')$ sea la categoría (de igual varianza) de funtores de $\mathcal U$ a $\mathcal U'$ . Entonces los morfismos de $Fun(\mathcal U,\mathcal U')$ se definen como sigue: si $\lambda,\mu$ son dos funtores (asumen covariantes) de $\mathcal U$ a $\mathcal U'$ entonces un morfismo $t:\lambda\to\mu$ es la colección de morfismos $t_X:\lambda(X)\to \mu(X)$ donde $X$ varía sobre todos los objetos en $\mathcal U$ .

Este $t_X$ se elige de manera que para cualquier morfismo $f:X\to Y$ , $\mu(f)\circ t_X=t_Y\circ \lambda(f)$ .

¿Cuál es la motivación de esta última definición de morfismos sobre $Fun(\mathcal U,\mathcal U')$ ? Un ejemplo sería muy útil.

Answer 1

1. No, no se garantiza la existencia de secciones, esto es sólo una definición. Desde otra perspectiva, cualquier morfismo que admita una sección es un epimorfismo pero no todos los morfismos son épicos.

2. Los morfismos entre funtores también se denominan transformaciones naturales y son omnipresentes en las matemáticas. Esta noción captura la idea de que alguna construcción de un objeto $G(X)$ de un objeto $F(X)$ puede realizarse de forma canónica, sin coordenadas, sencilla y limpia. Encontrará muchos ejemplos en el artículo de wikipedia . De hecho, Saunders Mac Lane dijo una vez

No inventé las categorías para estudiar los funtores; las inventé para estudiar las transformaciones naturales