Derivado de la función racional del álgebra de Lang

Question

Actualmente estoy trabajando en el siguiente ejercicio (Lang, IV.11(c)):

Deje $D$ ser el estándar de la derivada en el polinomio anillo de $k[X]$ sobre un campo $k$. Deje $R(X)=c\prod_{j}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}$ con $\alpha_{j}\in k$, $c\in k$, e $m_{j}\in\mathbb{Z}$ (por lo $R$ es una función racional). Mostrar que $$\frac{R'(X)}{R(X)}=\sum_{j}\frac{m_{j}}{X-\alpha_{j}}.$$

Mis pensamientos: yo sé que si $A$ es un anillo conmutativo, entonces la derivada es un mapa de $D:A[X]\to A[X]$ se define como se esperaba: $$Df(X)=f'(X)=a_{1}+2a_{2}X+\cdots+na_{n}X^{n-1}$$ for $f(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots+a_{n}X^{n}$. I would think that I can apply this in some sort of pairwise product rule fashion to take the derivative of $R(X)$. O tal vez yo podría multiplicar todos los productos? Sin embargo, no estoy seguro exactamente cómo hacer esto ya que solo tenemos una expresión general para un producto de factores lineales.

Mis preguntas: ¿ninguno de los métodos mencionados anteriormente tienen sentido? Además, la indexación establecida para $j$ debe ser finito, ¿verdad? (Si no, estaríamos tratando con el anillo de poder de la serie de $k[[X]]$, no el anillo de polinomios $k[X]$.)

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

La clave es generalizar la regla de Leibniz $(fg)'=f'g+fg'$ a múltiples factores: tenemos $$D\left(\prod_j f_j\right)=\sum_if_i'\prod_{j\neq i}f_j$ $ Por lo tanto, para $R(X)=c\prod_{j}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}$ tenemos \begin{align} R'(X) &=cD\left(\prod_{j}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}\right)\\ &=c\sum_{i}D((X-\alpha_{i})^{m_i})\prod_{j\neq i}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}\\ &=c\sum_{i}m_i(X-\alpha_{i})^{m_i-1}\prod_{j\neq i}(X-\alpha_{j})^{m_{j}} \end {align} por lo tanto \begin{align} \frac{R'(X)}{R(X)} &=\frac{c\sum_{i}m_i(X-\alpha_{i})^{m_i-1}\prod_{j\neq i}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}}{c\left(\prod_{j}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}\right)}\\ &=\sum_{i}m_i(X-\alpha_{i})^{m_i-1}\frac{\prod_{j\neq i}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}}{\prod_{j}(X-\alpha_{j})^{m_{j}}}\\ &=\sum_{i}m_i(X-\alpha_{i})^{m_i-1}\frac{1}{(X-\alpha_i)^{m_i}}\\ &=\sum_{i}\frac{m_i}{X-\alpha_i}\\ \end { alinear}

Answer 2

La fórmula viene de inmediato del hecho de que $$ \ frac {R ^ \ prime (X)} {R (X)} = d \ log (R (X)). $$ Si el uso de $\log$ en un contexto algebraico lo hace sentir incómodo, solo aplique la regla del producto para los derivados y algo de manipulación algebraica.