Integral con función beta incompleta

Question

Tengo la siguiente integral,

$$\int_{0}^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}B_x(c,d)dx$$

donde $B_x(c,d) = \int_{0}^xt^{c-1}(1-t)^{d-1}dt$ es el función beta incompleta et $a,b,c,d>0$ .

Pregunta : ¿Tiene esto una forma cerrada?

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Mi intento :

• En primer lugar, jugar con Wolfram Alpha me hace pensar que puede haber una forma cerrada (¿simple?): ejemplo 1%20dx) y ejemplo 2%20dx) . El segundo ejemplo también puede escribirse como $\int x^2(1-x)B_x(12,2)dx = \frac{1}{4}(B_x(16,2) - x^4B_x(12,2))+\frac{1}{3}(x^3B_x(12,2)-B_x(15,2))$ .

• Parece que hay una reducción cuando $a=c$ , $b=d$ como $$\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}B_x(a,b)dx=\frac{1}{2}\left(\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\right)^2$$ donde $\Gamma(a)$ es el función gamma . Sin embargo, para el caso en que $a\neq c$ , $b\neq d$ las cosas no están tan claras para mí.

• He encontrado una pregunta similar aquí pero no se ha respondido.

• También encontré este pero no estoy seguro de que sea útil.

Answer 1

Utilizando el representación hipergeométrica de la función Beta incompleta \begin{equation} B_x\left( c,d \right)=\frac{x^c}{c}{}_2F_1\left( c,1-d;1+c;x \right) \end{equation} la integral puede escribirse como \begin{align} I\left( a,b,c,d \right)&=\int_{0}^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}B_x(c,d)\,dx\\ &=\frac{1}{c}\int_{0}^1x^{a+c-1}(1-x)^{b-1}{}_2F_1\left( c,1-d;1+c;x \right)\,dx\\ &=\frac{1}{c}\sum_{k=0}^\infty \frac{(c)_k(1-d)_k}{(1+c)_kk!} \int_0^1x^{a+c+k-1}(1-x)^{b-1}\,dx\\ &=\frac{1}{c}\sum_{k=0}^\infty \frac{(c)_k(1-d)_k}{(1+c)_kk!} \frac{\Gamma(b)\Gamma(a+c+k)}{\Gamma(a+b+c+k)}\\ &=\frac{1}{c}\frac{\Gamma(b)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a+b+c)}\sum_{k=0}^\infty \frac{(c)_k(1-d)_k}{(1+c)_kk!} \frac{(a+c)_k}{(a+b+c)_k}\\ &=\frac{1}{c}\frac{\Gamma(b)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a+b+c)}\,{}_3F_2\left( 1-d,a+c,c;1+c,a+b+c ;1\right) \end{align} Utilizando esta identidad para la función hipergeométrica generalizada: \begin{equation} {}_3F_2\left( a_1,a_2,a_3;b_1,b_2;1 \right)=\frac{\Gamma(b_1)\Gamma(b_1+b_2-a_1-a_2-a_3)}{\Gamma(b_1-a_1)\Gamma(b_1+b_2-a_2-a_3)}{}_3F_2\left( a_1,b_2-a_2,b_2-a_3;b_2,b_1+b_2-a_2-a_3;1 \right) \end{equation} Aquí elegimos $a_1=1-d,a_2=a+c,a_3=c,b_1=a+b+c,b_2=1+c$ para obtener \begin{align} I\left( a,b,c,d \right)&=\frac{1}{c}\frac{\Gamma(b)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a+b+c)}\frac{\Gamma(a+b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d-1)\Gamma(b+1)}\,{}_3F_2\left( 1-d,1-a,1;1+c,1+b ;1\right)\\ &=\frac{1}{bc}\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d-1)}\,{}_3F_2\left( 1,1-a,1-d;1+b,1+c ;1\right)\\ &=\frac{a+b+c+d-1}{bc}B(a+c,b+d)\,{}_3F_2\left( 1,1-a,1-d;1+b,1+c ;1\right) \end{align} que da resultados sencillos si $a$ o $d$ son enteros positivos, ya que la serie hipergeométrica es finita: como $1-a\le0$ o $1-b\le0$ en el definición de la serie de la función hipergeométrica, hay $\operatorname{min}(a,b)$ términos (el numerador de los coeficientes se cancela después). También se puede comprobar el resultado dado cuando $a=c$ y $b=d$ .