Deje $K\subset L:=K(\alpha)$ ser una primitiva de campo de extensión de grado $n$ y definimos $c_i\in L$como \begin{align*} \sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i=\frac{f^{\alpha}_K}{(x-\alpha)}\in L[x]\quad(1) \end{align*} donde $f^{\alpha}_K$ es el polinomio mínimo de a$\alpha$ sobre $K$. El objetivo es demostrar que $\{c_i\}_{i\in\{0,\ldots,n-1\}}$ es $K$-base para $L$. El libro (teniendo en cuenta las introducciones a la teoría de Galois) no define lo que es un $K$-base para $L$ es pero supongo que se define de la siguiente manera: por un (primitiva) de extensión de campo $K\subset L$ grado $n$, $K$-base para $L$ se define como un conjunto $\{c_i\}_{i\in\{0,\ldots,n-1\}}$ de tal forma que cada elemento de a$l\in L$ puede ser escrito como una única (debido a que la base de los elementos son independientes) combinación de $k_0c_0+k_1c_1+\ldots+k_{n-1}c_{n-1}$ con $k_i\in K$. Es esta una definición plausible?
Ahora echemos un vistazo a cómo manipular la ecuación (1). Esto puede ser escrito como $$(x-\alpha)=\frac{f^{\alpha}_K}{\sum_{i=0}^{n-1}c_i x^i}.$$ Since the linear term $(x-\alpha)$ is definitely in $L[x]=K(\alpha)[x]$, the RHS must also be. We make the remark that $\deg f^{\alpha}_K=n$ because $K\subconjunto L$ is a field extension of degree $n$ and also that the degree of the polynomial in $L[x]$ in the denominator is at most $n-1$. Hence, at most a quantity of $n-1$ basis elements $c_i$ es necesario. Si estos elementos son independientes, no sé; tal vez es demostrado por la contradicción, o por división de los argumentos. Puede que alguien me tire en la dirección correcta? Gracias por el tiempo!
