Encuentra$P(7/8)$ dado${P(5)}^2=P(6)$ y$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$

Question

Hay un polinomio $P(x)$ , sabemos que ${P(5)}^2=P(6)$ y $$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$ $

Encuentra el valor de $P(\frac{7}{8})$ .

¿Alguna pista?

Sé que $P(1)=0,P(0)=0,P(-1)=0$ y $P(5)=0$ o $P(5)=\frac{7}{4}$ . Pero ¿qué sigue?

Answer 1

Tenga en cuenta que $P\equiv 0$ es un trivial solución de la ecuación. Así, supongamos $P$ no es idéntica a cero. Conectando $x=1$, se deduce que el $P(1)=0$. Sabiendo esto, podemos observar que la $P$ también ha $0,-1$ como sus raíces. Definir un polinomio $Q$como $$ Q(x)=\frac{P(x)}{x(x-1)(x+1)}. $$ From the given relation, we know that $Q(x)=Q(x+1)$. Note that if $P$ has a root $x_0$, then it should have infinite number of roots $x_0+k$, $\ k\in\Bbb Z$, which is absurd since $P$ is a non-zero polynomial. Thus $Q$ must be a $0$-degree polynomial. This gives $P(x)=cx(x-1)(x+1)$, and from $P(5)^2=P(6)$, tenemos que $ (120c)^2=210c, $ i.e. $c=\frac{7}{480}$. De ello se sigue que $$ P(\frac78)=c\frac 78(-\frac18)\frac{15}8=-\frac{49}{2^{14}}. $$

Answer 2

Insinuación.

Resolviendo la ecuación de recurrencia.

$$ (x-1) P (x +1) - (x +2) P (x) = 0 $$

tenemos

$$ P (x) = C_0 (x ^ 3-x) $$

pero $P(5)^2 = P(6)$ o $C_0^2(5^3-5)^2 = C_0(6^3-6)$ dando $C_0$ etc.

Por supuesto que $P(x)\equiv 0$ también es una solución.