Obtención de la norma$L^p$ de una función a través de pruebas contra las funciones$L^{p'}$.

Question

Deje $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ ser localmente integrable función y deje $p\in[1,+\infty)$ e $p'\in(1,+\infty]$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. Denotando por $C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$ el conjunto de infinitamente diferenciable funciones de soporte compacto, he demostrado a través de la extensión por continuidad y la densidad de un almacén operador lineal, representación de Riesz y teorema de la desigualdad de Hölder que:

$$\|f\|_p=\sup_{\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n),\\ \|\varphi\|_{p'}=1} \left|\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)\operatorname{d}x\right|$$ sin asumir un conocimiento previo del hecho de que $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ (es decir, si $f\notin L^p(\mathbb{R}^n)$ luego de la RHS tiene sentido y es igual a $+\infty$).

Lo que si se elimina el localmente integrable hipótesis? Veo que entonces no podemos tomar a la $\sup$ sobre todo $C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$ en general, porque algunos de $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$ podría muy bien suceder que la integral de $f\varphi$ no está bien definida. Así que pensé que tal vez si nos tomamos el $\sup$ sobre todo $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$ tal que $\varphi f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ , a continuación, lo que obtenemos es de nuevo $\|f\|_p$. Sin embargo, no he encontrado una manera de probar o refutar tal afirmación. Así:

Si $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ es una función medible (no necesariamente localmente integrable), es cierto que $$\|f\|_p=\sup_{\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n),\\ \|\varphi\|_{p'}=1, \\ f\varphi\in L^1(\mathbb{R}^n)} \left|\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)\operatorname{d}x\right| ?$$

Answer 1

Supongo que la función de $f$ es medible, que (como claramente lo sé) un poco más general que $L^1_{\text{loc}}$-integrablity. Voy a suponer que $f \geq 0$ . Así, podemos utilizar la integral de Lebesgue, que se define como $ \int_{\Omega} f \,\, dx = \sup_{\phi \text{ is simple}} \sum_{i=1}^N a_i |E_i|$, $\,\,$ donde $a_i$ es el valor de $\phi$ por cada $x\in E_i$, y el $E_i$'s son conjuntos disjuntos cuya unión, $\,\,\cup_{i=1}^N E_i = \Omega. \,$

Ahora, tenemos dos casos:

Caso 1: $\,\,f \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, que es equivalente a decir que $\int_{K} f \,\, dx < \infty$ para cada subconjunto compacto $K \subset \Omega$. Esto, entiendo, es el caso que ya hemos discutido, y la fórmula funciona perfectamente bien.

Caso 2: $\,\,f \notin L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, es decir que hay un subconjunto compacto $K \subset \Omega$ tal que $\int_{K} f \,\, dx = \infty$. Si este es el caso, esto significa $\infty = \int_k f \,\,dx \leq \left(\int_K f^{p}\, \, dx\right)^{1/p} \underbrace{\left(\int_K 1 \, \, dx\right)^{1/p'}}_{\text{finite}}$. Así, ya sabemos que el $||f||_p = \infty$. El problema es si o no la fórmula de representar correctamente la situación. Yo creo que sí, que me argumentan de la siguiente manera.

Deje $K$ ser el conjunto compacto de arriba. Deje $N \in \mathbb{N}$ y cubierta de $K$ con las bolas $B_{\delta(x)}(x)$ para $x \in K$, donde $\frac{1}{N}>\delta(x) > 0$ son lo suficientemente pequeños para que las bolas para permanecer en el interior de $\Omega$. Entonces, hay un número finito de subcolección $\{B_{\delta(x_1)}(x_1), ...,B_{\delta(x_k)}(x_k)\}$ que cubren $K$. Así, una de estas bolas-por ejemplo, $B_{\delta(x_1)}(x_1)$) satisface $\int_{B_{\delta(x_1)}(x_1)} f \,\, dx =\infty$; de lo contrario, $\int_K f \,\, dx < \infty$. Tomar un liso de corte de la función, $0 \leq \xi_\epsilon\leq 1$, de tal manera que $\xi_\epsilon \equiv 1$ a $B_\delta = B_{\delta(x_1)}(x_1)$ e $\xi_\epsilon \equiv 0$ fuera de $B_{(1+\epsilon)\delta} = B_{(1+\epsilon)\delta(x_1)}(x_1)$. Y establezca $c_\epsilon$ , de modo que $\left(\int_{B_{(1+\epsilon)\delta}} (c_\epsilon \xi_\epsilon)^{p'}\,\,dx\right)^{1/p'} = 1$. Entonces, tenemos que $\int_{\Omega}f (c_\epsilon \xi_\epsilon)\,\,dx \geq c_\epsilon \int_{B_{\delta}} f\,\, dx = \infty$. Así, la fórmula funciona así.

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P. S. pido disculpas por el desorden.

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Edit: acabo de ver tu último comentario. No estoy seguro de si la fórmula todavía funcionan cuando $f$ tiene valores tanto positivos como negativos, pero yo creo que es posible.