Mostrar la composición de las funciones invertibles$g \circ f$ es invertible con inverso$f^{-1} \circ g^{-1}$

Question

Deje que $ f : X \rightarrow Y$ y $g : Y \rightarrow Z$ sean funciones invertibles. Demuestre que $g \circ f : X \rightarrow Z$ es invertible y que $(g \circ f ) ^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} $

¿Sería esto suficiente como una prueba?

$$ \begin{align} (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) &= g \circ ((f \circ f^{-1}) \circ g^{-1})\\ &= g \circ (I_Y \circ g^{-1})\\ &= g \circ g^{-1}\\ &= I_X\\ (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) &= (f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g)) \circ f\\ &= (f^{-1} \circ I_Y) \circ f\\ &= f^{-1} \circ f\\ &= I_Z \end {align} $$

Answer 1

Me gustaría aceptar esto como una prueba en un pregrado de la tarea.

El único comentario que me gustaría hacer es que se necesita un poco de inglés frases para dar contexto a lo que estás haciendo y por qué.

Trate de abrir con

Considere la función $f^{-1} \circ g^{-1}$, lo que garantiza existen porque (...)

antes de pasar con

Ahora podemos comprobar que $f^{-1} \circ g^{-1}$ invierte $g\circ f$. Considerar en primer lugar la composición de la izquierda, que puede ser hecho, porque (...)

y, a continuación,

(...) ahora considere la composición de la derecha, que puede ser hecho, porque (...)

y, a continuación, una declaración con su conclusión.

Generalmente los bloques de las matemáticas debe estar delimitado con inglés declaraciones. Tiene dos principales matemáticos "pensamientos" en lo que has escrito, por lo que necesita para envolver ambos, así como la tácita "pensamiento" sobre el uso de/examen de $f^{-1} \circ g^{-1}$ en el primer lugar.