La ecuación estándar para el crecimiento exponencial y el decaimiento comienza y se deriva así:
$$ {dP\over dt}=kP$$
$$ {dP\over P}=kdt$$
$$ \int{dP\over P}=\int kdt$$
$$ \color{red}{\ln |P|}=kt+C$$
No entiendo el lado izquierdo en este punto, ¿no es $\int{1\over x}dx = \ln |x| +C$ ? ¿Dónde fue a parar la constante de integración de la integral izquierda?
Cuando integras ambos lados, cada uno tiene una constante - obtendrías, para constantes $A,B$ :
$$ \int{dP\over P}=\int kdt \implies \ln|P|+A = kt+B$$
Bueno, podemos restar $A$ de ambos lados y definir una constante $C = B-A$ Entonces
$$\ln|P|+A = kt+B \implies \ln|P|=kt+B-A=kt+C$$
Esta combinación de constantes suele estar implícita en la resolución de ecuaciones diferenciales: se integran los dos lados y luego se combinan las constantes en el lado de la ecuación que resulte más conveniente.
Bueno, fíjate en eso:
$$\ln\left|\text{P}\left(t\right)\right|+\text{C}_1=\text{k}\cdot t+\text{C}_2\tag1$$
En $\text{C}_1$ del otro lado da:
$$\ln\left|\text{P}\left(t\right)\right|=\text{k}\cdot t+\text{C}_2-\text{C}_1\tag2$$
Pero $\text{C}_2-\text{C}_1$ es otra constante, así que: $$\ln\left|\text{P}\left(t\right)\right|=\text{k}\cdot t+\text{C}\tag3$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
5 votos
Bueno, si te refieres a que debe ser $\ln |P| + K_1 = kt + K_2$ y, a continuación, llame a $C=K_2-k_1$ y es
0 votos
La constante de la derecha se integró en la constante de la izquierda. ¿O es al revés? Nunca puedo diferenciar la izquierda de la derecha.