Demostrar que $f(x)=\arcsin(x)+\arccos(x)$ es una función constante y es $f(x)= \frac{\pi}{2}$

Question

Sé que la mejor manera es usando el cálculo infinitesimal pero esta manera la usamos en la clase y luego debemos demostrarla de la otra manera que no usa el cálculo infinitesimal.

Mi intento:
$\lim_{ x\to 1^{-} }\arcsin(x))+\arccos(x))=\lim_{ x\to -1^{+} }\arcsin(x)+\arccos(x)= \frac{\pi}{2} $
Así que los límites de los valores para los extremos $ x $ del dominio de la función son los mismos.
Además la suma de funciones continuas es una función continua por lo que $f(x)$ cumple esta propiedad.
Por eso creo que es una prueba de que $f(x)=\frac{\pi}{2}$ .

Sin embargo, me temo que eso es insuficiente. ¿Puede usted calificar esto?

Answer 1

Observe que $\arcsin y$ es la solución de $y=\sin x$ en $x\in [-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$ y $\arccos y$ es la solución de $y=\cos x$ en $x\in [0,\pi]$ . Así que si tenemos $x_0=\arcsin y$ entonces tenemos $$ y=\sin x_0 \implies y=\cos\left(\frac \pi 2-x_0\right) $$ y $\frac \pi 2-x_0\in [0,\pi]$ . Esto da $\arccos y = \frac \pi 2 -x_0=\frac\pi 2 - \arcsin y$ como se quería.

Answer 2

Tenemos \begin {align} \cos f(x) &= \cos ( \overbrace { \arcsin (x)}^{ \in\left [- \frac\pi2 , \frac\pi2\right ]}) \cos ( \arccos (x)) - \sin ( \arcsin (x)) \sin ( \overbrace { \arccos (x)}^{ \in [0, \pi ]}) \\ &= \sqrt {1- \sin ^2( \arcsin (x))} \cos ( \arccos (x)) - \sin ( \arcsin (x)) \sqrt {1- \cos ^2( \arccos (x))} \\ &= \sqrt {1-x^2} \cdot x - x \sqrt {1-x^2} \\ &= 0 \end {align} por lo que la imagen de $f : [-1,1] \to \mathbb{R}$ está contenida en $\left\{\frac\pi2 + k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\}$ . Desde $f$ es continua y $[-1,1]$ está conectada, concluimos que la imagen de $f$ debe ser un singleton por lo que $f$ es constante.

Enchufar $x = 0$ produce $f \equiv \frac\pi2$ .

Answer 3

Observe que $f'(x) = 0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Así que $f(x) = c$ para una constante $c \in \mathbb{R}.$ Desde $f(0) = \frac{\pi}{2}$ , uno tiene $c = \frac{\pi}{2}.$ De ahí la conclusión.