Como se observa, la no-constante homomorphisms son inyectiva. Debido a $A_5$ es el único subgrupo de $S_5$ orden $60$ estamos buscando automorfismos de a$A_5$ a sí mismo.
A cada elemento de la $g\in S_5$ obtenemos una conjugación automorphism $\phi_g(x)=gxg^{-1}$ para todos los $x\in A_5$. Porque el centralizador de $A_5$ en $S_5$ es trivial, opciones distintas de $g$ el rendimiento de distintos automorfismos $\phi_g$.
La reclamación. Cualquier automorphism $\phi$ de $A_5$ es de la forma $\phi_g$ para algunos $g\in S_5$.
Prueba. El grupo $A_5$ tiene cinco diferentes Sylow $2$-subgrupos. Es decir,
$$P_5=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$$
y sus conjugados, cada estabilización de un único elemento de $J_5:=\{1,2,3,4,5\}$.
Voy a denotar por $P_i$ el conjugado de estabilización $i\in J_5$.
Debido a $\phi$ es un automorphism debe permutar estos 5 grupos. Así que no hay
una permutación $\sigma\in S_5$ tal que $\phi(P_i)=P_{\sigma(i)}$ para todos los $i\in J_5$.
Por otro lado, la conjugación $\phi_\sigma$ también mapas de $P_i$ a $P_{\sigma(i)}$.
Por lo tanto, la automorphism $\tau:=\phi\circ\phi_{\sigma^{-1}}$ tiene la propiedad de que
$\tau(P_i)=P_i$ para todos los $i\in J_5$. En consecuencia, también la normalizadores se conservan:
$\tau(N_{A_5}(P_i)=N_{A_5}(P_i)$ para todos los $i\in J_5$. Pero los normalizadores son los conjugados de $A_4$, cada uno el estabilizador de un elemento de $J_5$. Considere la posibilidad de un 3-ciclo, tales como $\alpha=(234)$. Los únicos dos 3-ciclos de normalizar tanto $P_1$ e $P_5$ se $\alpha$
y $\alpha^{-1}=(243)$. Por lo tanto, debemos tener $\tau(\alpha)=\alpha$o
$\tau(\alpha)=\alpha^{-1}$. Pero, tenemos
$$\tau(\alpha P_2\alpha^{-1})=\tau(P_3)=P_3$$
así como
$$\tau(\alpha P_2\alpha^{-1})=\tau(\alpha)P_2\tau(\alpha)^{-1}=P_{\tau(\alpha)(2)}.$$
Así que debemos tener $\tau(\alpha)(2)=3$, dejando $\tau(\alpha)=\alpha$ como la única posibilidad.
De ello se desprende que $\tau(\beta)=\beta$ para todos los 3-ciclos de $\beta\in A_5$. Pero los 3-ciclos de generar $A_5$, lo $\tau$ debe ser la asignación de identidad. Por lo tanto, $\phi=\phi_{\sigma}$. QED.
De ello se desprende que hay 120 inyectiva homomorphisms de $A_5$ a $S_5$ y el trivial constante homomorphism.
