¿Cómo un conjunto microcanónico maximiza la entropía?

Question

Un microcanonical ensemble es uno que representa un sistema aislado con un número fijo de partículas, el volumen y la energía. En otras palabras, es una $(N,V,E)$ conjunto.

Si la energía es fijo, que se traducirá en un número fijo de microstates. El número total de microstates no tiene ninguna variación con respecto a la energía, ya que la energía es constante. Si $\Omega(N, V, E)$ es una constante, por lo que es la entropía, $k_B \ln \Omega$.

¿Qué significa decir que un microcanonical conjunto es el que maximiza la entropía? Con respecto a qué variable?

Edit: el de Responder a la primera respuesta, es decir, por @flaudemus, con dos conocidos argumentos en apoyo de la reclamación, ambos de los cuales son completamente equivocado, y no funcionan (y esto no es acerca de la respuesta; que es como un microcanonical conjunto se enseña en la mayoría de las clases en mi opinión).

Mal argumento 1: El número total de microstates $\Omega(E)$ es una función de la energía $E$ y también varía con la energía.

El razonamiento de por qué es malo: $S$ varía con $E$ en general, no para un determinado $(N,V,E)$ ensemble bajo estudio. Considere dos microcanonical conjuntos, $(N,V,E_1)$, e $(N,V,E_2)$. Esos son los dos completamente diferentes conjuntos estudiados de forma independiente. Ellos no tienen ninguna relación entre sí. No tiene sentido decir que si el segundo conjunto tiene una entropía más alta en comparación con la primera, la entropía aumenta con la energía. Así, se incrementó en cambio el conjunto que están estudiando, por lo que básicamente cambia el problema. Alternativamente, si el cambio de la energía dentro de el mismo problema, ya no es un microcanonical conjunto, ya que la energía ya no es fija.

Mal argumento 2: En fin a ver, ¿cómo se maximiza la entropía en un sistema así, considere la posibilidad de dividir el sistema de energía total $E$ en dos partes ${\cal S}$ e ${\cal S}'$, y deje que la energía de ${\cal S}$ ser $\epsilon$, y que de ${\cal S}'$ ser $E-\epsilon$. A continuación, la entropía total es $$ S(\epsilon) = S_{\cal S}(\epsilon) + S_{{\cal S}'}(E-\epsilon).$$ La máxima entropía significa $$ \frac{dS(\epsilon)}{d\epsilon} = \frac{dS_{\cal S}(\epsilon)}{d\epsilon} + \frac{dS_{{\cal S}'}(E-\epsilon)}{d\epsilon} = \frac{dS_{\cal S}(\epsilon)}{d\epsilon} - \frac{dS_{{\cal S}'}(E-\epsilon)}{d(E-\epsilon)} = 0.$$ De acuerdo con nuestra definición de la temperatura, esto es equivalente a $$ \frac{1}{T_{\cal S}} = \frac{1}{T_{{\cal S}'}},$$ es decir, la maximización de la entropía significa que los dos subsistemas tienen la misma temperatura. En otras palabras, las temperaturas de todos los termodinámicas de los subsistemas de su NVE-sistema son los mismos.

El razonamiento de por qué es malo: Todo esto derivación establece es la maximización de la entropía de un subsistema de la microcanonical conjunto, no el sistema en sí. El sistema como un todo, siempre fue, y siempre será en un fijo de la entropía $S$, correspondiente a fijo de la energía total $E$. (edit: Esto no es del todo correcto. La maximización de la condicional de la entropía como se explica en la edición de 3 a continuación).

Edit 2: ¿Sería correcto decir lo siguiente:

• Un microcanonical conjunto no maximizar la entropía total del sistema, ya que el total de la energía y la entropía total es fijo.
• Sin embargo, si consideramos un gran subsistema del sistema total, que el subsistema tendría su maximiza la entropía con respecto a su energía, que es fluctuante y no un consant.
• Por grandes subsistema, me refiero a que el subsistema de tamaño podría ser un medio, un tercio, pero no una centésima o una milésima de que el sistema total. Si dicho subsistema es demasiado pequeño, se convierte en un canoncial conjunto, con el resto del sistema, convirtiéndose en el baño de calor y, a continuación, la entropía no podría maximizar. (Sería correcto el razonamiento?)

Edit 3: he leído las ediciones del @flaudemus, así como algunos textos. Estoy de acuerdo en que estamos tratando con dos tipos del total de las entropías: $S(N, V, E)$ e $S_{c,\epsilon}(N, V, E, \epsilon)$, donde (edit: expresión correcta en Editar 5):

$$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{S(N, V, E) = \int_0^E S_{c,\epsilon}(N,V,E,\epsilon)\,d\epsilon}$$

$$S_{c,\epsilon}(N, V, E, \epsilon) = S_{\mathcal{S}}(\epsilon) + S_{\mathcal{S'}}(E-\epsilon)$$

Sin embargo, esto es todavía un problema serio. Ningún stat-mech texto aclara que no es la primera especie de entropía total, pero el segundo tipo (vamos a llamar condicional de la entropía: la entropía total del sistema de energía total $E$, dado que se parte de que el sistema tiene una energía $\epsilon$).

No sólo eso, se plantean otras cuestiones, como ¿por qué no podemos condicionar la entropía total en algo más, como parte del sistema con el n de N partículas, o parte de el sistema con v de V de volumen.

Pero entonces, si $S(N, V, E) \neq S_{c,\epsilon}(N, V, E,\epsilon)$, lo que acerca de los siguientes (en equilibrio):

$$S_{c,\epsilon}(N, V, E,\epsilon) \stackrel{?}{=} S_{c,n}(N, V, E, n)$$

$$S_{c,\epsilon}(N, V, E,\epsilon) \stackrel{?}{=} S_{c,v}(N, V, E, v)$$

Si no son iguales, no hay nada especial acerca de la $S_{c,\epsilon}(N, V, E,\epsilon)$ en comparación con otros entropías condicionales.

Muy lamentable cómo tales detalles críticos son glosado en el 99% de las clases y los textos.

En fin, que todavía significa total (incondicional) la entropía de un microcanonical conjunto permanece constante, pero el total de la entropía condicional (acondicionado en susbystem energía) es la que se maximiza.

Edit 4: Algunos textos que he mirado:

• Schroeder, Una Introducción a la Física Térmica
• Kardar, de Estadística de la Física de Partículas
• Sethna, la Mecánica Estadística: la Entropía, los Parámetros de Orden, y la Complejidad

Fui solamente a través de secciones cortas, sobre todo buscando la discusión sobre microcanonical conjunto. Como lo que puedo decir, todos se quedan cortos en el esclarecimiento de este problema. Sin embargo, yo era capaz de llegar con una relación entre el total de dos entropías mientras buscaba en la Fig. 3.1 en Schroeder.

Edit 5: siento que mi expresión en Editar 3 es incorrecta, como se ha señalado por @flaudemus, pero con $d\epsilon$ no $dE$. La correcta relación completa se aplica a microstates, no la entropía:

$$\Omega(N, V, E) = \int_0^E \Omega_{c,\epsilon}(N,V,E,\epsilon)\,d\epsilon$$

Esto le da la siguiente relación entre las entropías:

$$S(N, V, E) = k_B \ln \int_0^E \exp \frac{S_{c,\epsilon}(N,V,E,\epsilon)}{k_B}\,d\epsilon$$

Answer 1

¿Qué significa decir que un microcanonical conjunto es el que maximiza la entropía? Con respecto a qué variable?

Hay diferentes entropías involucrados: termodinámica(función de $E,V,N$) y de la información teórica (función de probabilidades, también llamado a veces la entropía de Gibbs). Estos no son la misma cosa.

La regla general es: la termodinámica de la entropía para algunos macroscópica estado X es el valor máximo posible de la entropía de información funcional para todas las distribuciones de probabilidad que obedecer dadas las limitaciones implícitas en el estado X.

El concepto de microcanonical conjunto puede ser entendida como "el mejor" probabilidad descripción de un sistema de estas restricciones: la conocida y fija la energía, el volumen y el número de partículas: $E,V,N$.

La información la entropía es una función de conjunto de las probabilidades de todos los estados posibles. Si el espacio de estados discreto y ha $N$ estados distintos, la entropía de información funcional se puede definir como

$$ I[{p_k}] = - \sum_{k=1}^N p_k \ln p_k. $$

(esta función fue estudiado por Claude Shannon y Edwin Jaynes que dieron algunos argumentos de por qué esta función y no en otro).

Para un sistema con conocidos y fijos $E,V,N$, todos los estados de la suma anterior debe ser posible, en otras palabras, todos los estados $k$ tienen la misma energía, el volumen, el número de partículas. Otros estados no están incluidos en la suma.

Diferentes asignaciones de probabilidad para los estados, mientras que del todo compatibles con las restricciones implícitas por $E,V,N$ , puede dar diferentes valores de $I$. La distribución de $p_k^* = 1/N$ da, para grandes $N$, el valor máximo posible para $I$. Este valor máximo posible, a continuación, da la termodinámica la entropía del sistema en el estado macroscópico $E,V,N$, de acuerdo a la fórmula

$$ S(E,V,N) = k_B me [ \{ p_k^*\} ] = k_B \ln N. $$

Answer 2

Por lo que yo entiendo como dos demandas diferentes.

Uno de ellos es la reivindicación del conjunto: en este contexto que estamos considerando todas las distribuciones de partículas posiciones y los impulsos que tienen el mismo $(N, V, E)$. Esta es la parte que se arriesgado cuando empezamos a hablar sobre el ensemble canónico o la temperatura es muy difícil de definir para los sistemas generales y por lo que se implícitamente haciendo un llamamiento a un equilibrio térmico que ya ha sucedido. Por lo que el reclamo es que "debemos analizar este complejo sistema por considerar todas las posibles configuraciones que tiene este número de partículas, el volumen y la energía, como parte de un todo unificado que llamamos su microcanonical conjunto."

La segunda es la afirmación del estado de que el conjunto de la toma: la demanda es que en esta microcanonical conjunto no puede ser de muchos diferentes "distinguible" a los estados a nosotros, sino a las leyes de la física esas no son cosas distintas: ya que tienen la misma energía, las leyes de la física no están a favor de un estado sobre otro. Así que la afirmación es que la manera correcta de ver este microcanonical conjunto es "gruesa" a través de todos los factores observables, de manera que cada combinación de esos factores se compone de un "macrostate" cuya característica distintiva es el volumen del espacio de fases-el número de microstates-que abarca. Y el principio de la maximización de la entropía establece que debido a que la física no puede decir la diferencia entre el microstates, el macrostate con la mayoría de los microstates gana; y el tamaño de este macrostate se denota con el aditivo de medida $S$. Reclamación dos es, "En conjunto, el sistema natural se relaja hacia el estado de máxima entropía, simplemente porque nuestro conocimiento del estado del sistema, naturalmente, se vuelve más y más incierto, de modo que es como si la naturaleza se terminó con la simple elección de los puntos del espacio de fases al azar con probabilidad uniforme, a no preocuparse acerca de cualquier otra de las variables que estamos prestando atención."

Así, por ejemplo, el tipo de razonamiento que estamos tratando de permitir: usted tiene un mayor sistema de $AB$ que se compone de dos pequeños sistemas de $A$ e $B$, y estudio en la microcanonical conjunto: $AB$ no puede intercambiar energía con su entorno, sino $A$ e $B$ puede intercambiar energía con cada uno de los otros. Si has estudiado en aislamiento usted encontrará que cada uno de forma individual en su propio microcanonical conjunto de algunos de entropía $S_{A,B}(E)$. El sistema en su conjunto, por tanto, tiene una entropía $$S_{AB}(E) = S_A(E_A) + S_B(E-E_A).$$ En otras palabras, el $(N,V,E)$ conjunto para $AB$ consiste, para todos los valores de $E_A$, de todos los pares de estados $(s_A, s_B)$ donde $s_A$ es en el conjunto de $A$ energía $E_A$ e $s_B$ es en el conjunto de $B$ energía $E_B$.

La afirmación de que esta se maximiza es un reclamo acerca de esta variable interna $E_A$ y se dice que el sistema debe llegar a un estado en el que $${\partial S_A\over\partial E} = {\partial S_B\over\partial E}.$$And in slightly more detail it says that an energy packet will flow from $B$ to $$ if $\partial S_A/\parcial E > \partial S_B/\parcial E,$ which if we interpret this as heat flowing from hot to cold means that $\parcial S/\parcial E$ es algún tipo de medida de la frialdad con la energía siempre fluye hacia el más frío de la cosa.

Entonces sí es útil para poder comparar los diferentes números de diferentes microcanonical conjuntos cuando los conjuntos son realmente una familia de conjuntos con parámetros más variables como el total de energía, volumen, etc.: porque podemos, a continuación, de forma más aislada de los sistemas de los números que tenemos para los más pequeños.