Contradicción con el teorema de punto fijo de Banach

Question

Estoy tratando de encontrar el punto fijo de la función $g(x) = e^{-x}$. Wolfram Alpha me dice que este punto fijo es de aproximadamente $x \approx 0,567$. Sin embargo, si aplico el punto fijo de Banach teorema, puedo demostrar que $g(x)$ tiene un punto fijo en el intervalo de $[2,\infty)$. Yo razonaba de la siguiente manera:

Punto fijo de Banach teorema: Deje $X$ ser un espacio de Banach, $D \subseteq X$ un intervalo cerrado y $T:D \rightarrow D$ , una contracción, lo que significa que $T$ es Lipschitz continua con constante de Lipschitz $L < 1$:

\begin{equation} \Vert T(u) - T(v) \Vert_X \leq L \Vert u-v \Vert_X \text{ } \forall u,v \in D. \end{equation}

Ahora $X = (\mathbb{R}, \Vert \cdot \Vert_1)$ es un espacio de Banach y $D = [2,\infty)$ es un intervalo cerrado en $X$. Ahora, me muestran que la $g(x)$ es una contracción: sin pérdida de generalidad, supongamos $x < y$. Entonces

\begin{equation} \Vert g_1(x) - g_1(y) \Vert_1 = |e^{-x} - e^{-y}| = e^{-x} - e^{-y} = e^{-x}(1-e^{x-y}). \end{equation}

Desde $e^a \geq 1+a \text{ } \forall a \in \mathbb{R}$, puedo obtener

\begin{equation} \begin{split} \Vert g_1(x) - g_1(y) \Vert \leq e^{-x}(1-(1+x-y)) = e^{-x}(y-x) \\ \leq e^{-2}(y-x) = e^{-2}|x-y| = e^{-2} \Vert x-y \Vert_1 = L \Vert x-y \Vert_1, \end{split} \end{equation}

donde $L = e^{-2}$ < 1.

Así que las condiciones del punto fijo de Banach teorema están satisfechos y $g(x)$ tiene un punto fijo en el intervalo de $[2, \infty)$. Sin embargo... Esto no es cierto! ¿Alguien puede decirme lo que está mal aquí? Muchas gracias de antemano!

Answer 1

$e^{-x}$ no asigna $[2,\infty)$ a sí mismo.

Answer 2

$e^{-2}$ no está en el intervalo de $[2,\infty)$, por lo que la imagen del intervalo no está contenido en el intervalo; es decir $g$ no asignar el intervalo de sí mismo. De hecho, el intervalo y su imagen son distintos, por lo que no puede ser un punto fijo. Una forma de pensar de la Banach de punto fijo teorema es que si usted tiene un intervalo que se asigna a sí mismo, entonces usted puede encontrar un sub-intervalo que se asigna a la sub-intervalo, y una sub-sub-intervalo de la sub-intervalo que se asigna a la sub-sub-intervalo, y así sucesivamente, y el límite de ese proceso es un punto único que se asigna a sí mismo. Una vez que obtenga un intervalo que no se asigna a sí mismo, sin embargo, que el intervalo no necesariamente tiene un punto fijo, a pesar de que el espacio como un todo. Si no comprueba que un intervalo en el que se asigna a sí mismo, usted encontrará que la BFPT requiere cada intervalo que contiene a un punto fijo, que es claramente absurdo.