Multiplicación mediante cuadratura y adición.

Question

Es posible definir la multiplicación de dos enteros positivos sólo mediante la suma y el cuadrado? Por supuesto, he a$5 \cdot 3 = 5 + 5 + 5$ pero me gustaría algo sin decir hacer esto $n$-veces.

La Aritmética de Peano de los dos siguientes axiomas:

1. $x \cdot 0 = 0$
2. $x \cdot y = x \cdot (y-1) + x$

Así que yo también podría escribir $3 \cdot 5 = 3 \cdot (5-1) + 3 = 3^2 + 3 + 3$ pero yo no "saber" con qué frecuencia debo aplicar el $2$nd axioma.

He intentado un par de cosas y se dio cuenta de que uno tiene:

$$2xy = (x+y)^2-x^2-y^2 \text{ and } 4xy = (x+y)^2-(x-y)^2$$

Cerca de $xy$ , pero todavía no se lo que estoy buscando. Y de hecho, esta utiliza la resta...

Edit: Como se aclara en los comentarios: me estoy preguntando cómo definir la multiplicación en el interior de la estructura de $(\mathbb{N}, +, \cdot^2)$.

Answer 1

Por tu comentario, la pregunta precisa que estás preguntando es:

Es la multiplicación definida en la estructura de la $(\mathbb{N}; +,\cdot^2)$?

La respuesta es sí: tenemos $z=x\cdot y$ fib $z+z+x^2+y^2=(x+y)^2$.

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Esto es un poco insatisfactorio; podemos hacer mejor?

Así, uno natural de esperanza para un término específico que se construye fuera de la $+$ e $\cdot^2$ que da a la multiplicación. E. g. elevar a la cuarta potencia no sólo es definible, es dada por el término de $(x^2)^2$. Así que ahora se pregunta:

Es el término que se $xy$ equivalente (en el sentido obvio) para un término en el lenguaje de $+,\cdot^2$?

La respuesta a esta pregunta es no. Una forma de ver esto es mediante la ingestión de derivados. Supongamos $t(x,y)$ es un término que se construye fuera de la $+$ e $\cdot^2$. Entonces, cuando escribimos ${\partial\over\partial x}t(x,y)$ totalmente cancelado-donde-posible suma de monomials, cada monomio en que $y$ se produce incluso han coeficiente de$^1$. Pero el monomio $xy$ sí no tiene esta propiedad.$^2$

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$^1$Esta dura prueba, pero es un sencillo de inducción, así que voy a dejar en el lector.

$^2$OK fino, técnicamente tenemos que demostrar que el totalmente cancelado-suma-de-monomials forma de un polinomio es único, pero meh - me voy a dejar en el lector también. La inducción se basa en el carácter.