¿El conjunto de trayectorias entre dos puntos que se mueven solo en unidades en el plano es contable o no contable?

Question

Considerar 2 arbitraria, puntos fijos a y B en el plano. Suponga que puede desplazarse desde el punto a en la unidad de distancia en cualquier ángulo a otro punto, y desde este punto se puede volver a viajar una unidad de distancia en cualquier ángulo a otro punto y así sucesivamente. En última instancia, su objetivo es viajar de un punto a a Un punto B a lo largo de una ruta de acceso de la unidad de distancia de los segmentos de línea sin la repetición de un punto durante su viaje. Es el conjunto de rutas contables o incontables?

Creo que es incontable y aquí está mi proceso de pensamiento, pero no estoy seguro de mi lógica. Considere la posibilidad de que la línea entre los dos puntos equidistantes de ellos; llamar a esta línea de L. Una ruta de acceso de sólo la unidad de las distancias entre Un punto, P, que se encuentra en L, sin cruzar L(no sé cómo probar esta afirmación, pero parece cierto). Esta ruta puede ser reflejado en el otro lado de L a conectar a B a P. por tanto, para cualquier punto P, que se encuentra en L a ruta de acceso puede realizarse desde la a a la B cruzando a través de la P a mitad de camino a través de la ruta de acceso. Desde los puntos de L son incontables el conjunto de caminos entre a y B también son incontables.

Answer 1

Sí, esto parece convincente. Para el paso faltante, vaya directamente de A hacia P en pasos unitarios hasta que la distancia que queda sea menor que 2. Luego, use la distancia restante como la base de un triángulo isósceles con patas unitarias, que indica que están alejadas de L.

Answer 2

Ir a una unidad de $a$ a un ángulo de $t$ a $c$.
Ir en unidad de pasos a lo largo de ca hasta que uno es menos que una unidad de distancia de $b$ a un punto de $p$.
Si $p \neq b$, a continuación, dibuje un triángulo con base $pb$ y los lados de la unidad de longitud de la adición de los lados como los pasos finales.

Como para cada una de las $t$ en $[0,2\pi)$, he construido una diferente aceptado zigzaging de $a$ a $b$, hay una cantidad no numerable de maneras de tan asombrosa de $a$ a $b$.

Answer 3

Deje $C$ estar en la línea a través de $B$ que es perpendicular al segmento $AB$ con la distancia $BC$ igual a $1/2.$ Tomar cualquier medio de la línea de $L$, no a través de $B$, que se origina en el $A$ y se cruza con el segmento de $BC.$ Para algunos $n\in \Bbb N$ hay un camino a lo largo de $L,$ partir de $A,$ determinado por $n$ puntos $A=A_1,...,A_n$ donde $A_j,A_{j+1}$ son a distancia $1$ aparte para cada una de las $j<n,$ y tales que la distancia de a$A_n$ a $B$ es de menos de $1.$

Deje que el punto de $D$ ser tal que $A_nD=BD=1$ nd $D\not \in \{A_1,...,A_n\}.$ Entonces el camino determinado por $\{A_1,...,A_n\}\cup \{D\}$ es una ruta de acceso del tipo deseado.

El cardinal del conjunto de todos esos $L$ es $2^{\aleph_0}$ así, al menos esto muchos caminos del tipo deseado, uniendo pares de puntos .

Y cada camino es determinado por una función de algunos $\{1,2,...,m\}\subset \Bbb N$ a $\Bbb R^2.$ El conjunto de todas esas funciones ha cardenal $2^{\aleph_0}$ por lo que hay en la mayoría de las $2^{\aleph_0}$ caminos del tipo deseado.

Answer 4

Supongamos primero que la distancia $AB$ entre $A$ e $B$ es estrictamente entre $2$ e $3$. A continuación, para cada punto de $C$ tal que $AC=1$ e $BC<2$, hay un segundo punto de $D$ tal que $CD=1=BC$ (dibujar un triángulo isósceles). El conjunto de puntos de $C$ forma un arco abierto en el círculo unitario con centro en el $A$, y por tanto, hay una cantidad no numerable de tal $C$, por lo tanto una cantidad no numerable de tal "unidad de caminos".

Para el general de los puntos de $A$ e $B$, acaba de encontrar una ruta de unidad entre $A$ e $B$ que contiene dos puntos intermedios $A'$ e $B'$ con $2<A'B'<3$ (por ejemplo, los puntos en un gigantesco círculo, finalmente, la conexión de $A$ a $B$), y luego variar el camino de $A'$ a $B'$ en el modo descrito anteriormente.

Esta prueba muestra incluso que uno puede conseguir una cantidad no numerable de la unidad de caminos con el mismo número de unidad de pasos. Una ligera afilado muestra que para cualquier entero $k>AB$, hay una cantidad no numerable de la unidad de caminos de $A$ a $B$ con exactamente $k$ unidad-pasos.

Answer 5

Creo que es incontable también, y aquí está mi proceso de pensamiento:

Para cada vector de dirección $v\in\Bbb R^2=T_a\Bbb R^2$, toma una curva $\alpha_v$ de $a$ a $b$ con $\alpha_v'(0)=v$.

Entonces si $v\neq w$, tenemos $\alpha_v\neq\alpha_w$.

Pero es evidente que hay una cantidad no numerable de los vectores de dirección en $\Bbb R^2=T_a\Bbb R^2$.