Seis números reales para que el producto de cualquiera de los cinco sea el sexto.

Question

Uno tiene que elegir seis números reales $x_1,x_2,\cdots,x_6$ tales que el producto de los cinco de ellas es igual a otro número. El número de estas decisiones es

A) $3$

B) $33$

C) $63$

D) $93$

Creo que no es tan difícil problema, pero no tengo ni idea de proceder. El trabajo que yo hacía hasta ahora.

Dicen los números se $a,b,c,d,e, abcde$. A continuación, $b\cdot c\cdot d\cdot e\cdot abcde=a$ por lo tanto $bcde= +-1$.

Básicamente, yo ni siquiera podía encontrar una sola ocasión en que tales cosas occcur excepto todos estos números están bien $1$ o $-1$. Son estos todos los casos?

Answer 1

He aquí un argumento que se extiende a $n$ números reales muy bien! Podemos comenzar señalando que $$x_1 (x_2x_3x_4x_5x_6) = x_1^2$$ Y por conmutatividad, obtenemos $x_i^2 = x_j^2$ lo que implica que todas las magnitudes son iguales.

Ahora si $L$ es la magnitud, también debemos tener $L = L^5$, y a partir de esto llegamos a la conclusión de que $L=0$ o $1$.

Ahora sólo tenemos que ir a través de las posibilidades. Si $L = 0$, entonces tenemos todos los $0$'s

Si $L = 1$, entonces tenemos todos los $-1$'s y $1$'s. Esta configuración funciona si el número de $-1$'s es par, ya que esto implicaría que $$\frac{\prod_{i=1}^6 x_i}{1} = 1 \text{ and } \frac{\prod_{i=1}^6 x_i}{-1} = -1$$ Ahora podemos contar configuraciones. Habrá $$\sum_{i=0}^3 \binom{6}{2i} = 2^5$$ posibilidades. Y por último, tenemos las $1+32 = 33$.

Answer 2

Bueno, si hay un número par de $1$ 's y $-1$ ' s, entonces la propiedad se mantiene, entonces eso es $$\binom{6}{0}+ \binom{6}{2}+ \binom{6}{4}+ \binom{6}{6}=32$ $ Y luego está el caso de que todos son cero . Por lo tanto, hay $33$ de casos totales.

Answer 3

Para hacer la solución más explícito, el producto de los seis valores es el cuadrado de uno de ellos, así que todos están $\pm k$ para algunos $k$, e $k^6=k^2\implies k\in\{0,\,1\}$. Tenemos una $k=0$ solución y, debido a que se requiere un no-negativos producto, una $k=1$ solución para cada elección de seis $\pm 1$s con un número de $-1$s. Como es sabido, el número de uniforme y de tamaño irregular subconjuntos de un número finito de conjunto no vacío son iguales, y por lo que el número total de soluciones es $1+\frac12\cdot2^6$, es decir, B).

Answer 4

Aunque la pregunta afirmaron los números reales, podemos extender este complejo con bastante facilidad.

Nota: se requieren

$$ \exp( \left( E - I) \boldsymbol{z} \right ) = \exp(\boldsymbol{z}) $$

donde $\exp(\boldsymbol{z}) = \boldsymbol{x}$ (el vector de números a multiplicar), $E$ es una matriz de unos y $I$ es la matriz identidad.

Ahora,

$$ \exp( \left( E - 2I) \boldsymbol{z} \right ) = \exp(2\pi i \boldsymbol{k}) $$

para algunos vector de enteros $\boldsymbol{k}$. La equiparación de los poderes y el uso de $(E - 2I)^{-1} = \frac{1}{8}(E - 4I)$, da

$$ \boldsymbol{z} = \frac{K \pi i}{4} - \pi i \boldsymbol{k}$$

donde $K = \sum_{i=1}^6 (\boldsymbol{k})_i$ y por lo tanto

$$ \boldsymbol{x} = \exp \left (\frac{K \pi i}{4} \right) \cdot \exp(\pi i \boldsymbol{k})$$

El segundo término es claramente un vector de 1s y -1s. El primer término puede tomar los siguientes valores:

1. Si el total de 1s en el segundo término son incluso decir (incluso el número de incluso $k_i$),

   • $1$
   • $i$
   • $-1$
   • $-i$

2. Si el total de 1s en el segundo término son impares, es decir, (número impar de incluso $k_i$),

   • $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$
   • $-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$
   • $-(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i)$
   • $-(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i)$

Finalmente, considerar los subconjuntos de a$A = \{-1, 1\}^6$, $A_E \subset A$ contiene un número par de 1s y $A_O \subset A$ contiene un número impar de 1s.

Claramente $A_E = -A_E$ (multiplicando cada elemento en el conjunto -1) y $A_O = - A_O$, por lo tanto la combinación única de números complejos es la unión de conjuntos disjuntos

$$C = A_E \cup iA_E \cup (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) A_O \cup (-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) A_O$$

Como $|A_E| = |A_O| = 32$, y la de arriba es una unión de subconjuntos disjuntos, $|C| = 128$ , e incluyendo el caso en que todos los valores se $0$, tenemos que el total de combinaciones complejas como $129$.

Nota

Para responder a la pregunta, sabemos que el único subconjunto que contiene los valores reales es $A_E$ para el total de combinaciones en el caso real es de $33$.

Answer 5

SUGERENCIA:

Es obvio que usted necesita tener los números de valor absoluto igual a $1$ (además de un caso especial, pero hemos de llegar a eso más adelante). La pregunta es cómo establecer los signos de estos $1$s. El producto será negativo si usted tiene un extraño número de signos negativos en positivos y siempre que tengas una incluso el número de signos negativos. Ya que son para determinar los signos de un número de $1$s si usted decide dar un incluso varios de ellos un signo negativo de tener una de las dos situaciones siguientes

• el $1$ que NO está en el producto tiene signo negativo. En este caso hay un $\text{even}-1=\text{odd}$ número de signos negativos distribuidos a lo largo de los otros cinco $1$s que el resultado en $-1$ por lo que la condición se ha cumplido

• el $1$ que en NO en el producto tiene signo positivo. En este caso hay un $\text{even}-0=\text{even}$ número de signos negativos distribuidos a lo largo de los otros cinco $1$s que el resultado en $+1$ , de modo que la condición es que una vez más ha cumplido.

Así que tu pregunta se traduce en cuántas maneras se puede distribuir un número par de signos negativos entre los seis $1$s. Esto se soluciona de la forma más fácil considerando el número de maneras de distribuir la $0,2,4$ e $6$ signos negativos.

Finalmente, la solución no tener que lidiar con $1$s es el trato con todos los ceros.

Espero que esto ayudó a