Espacio métrico (análisis elemental)

Question

Dejemos que $d: X \times X \to \Bbb R$ es una función que satisface todas las propiedades de un espacio métrico pero $d(x,y)=0 \implies x = y$ .

Si definimos $\sim$ en $X$ por $x\sim y \iff d(x,y) = 0$ ,

demostrar que $D([x], [y]) = d(x,y)$ donde $[x] = \{z \in X \mid z\sim x\}$ está bien definido en las clases de equivalencia y convierte el conjunto de clases de equivalencia en un espacio métrico.

¡Algo de ayuda, por favor!

(He demostrado que $\sim$ es una relación de equivalencia)

Gracias.

+++

He seguido tus consejos y acabo de resolver este problema. Podría decirme si hay alguna debilidad o error en mi prueba?

Answer 1

En esencia, estás identificando todos los puntos "indistiguibles", es decir, pares tales que $x\neq y$ Sin embargo, $d(x,y)=0$ en un punto $\bar x=\{y:d(x,y)=0\}$ .

Debes demostrar dos cosas:

$(1)$ La nueva métrica $d(\bar x,\bar y):=d(x,y)$ donde elegimos $x\in\bar x,y\in \bar y$ está "bien definida", lo que significa que la salida no no dependen del representante que tomemos en $\bar x,\bar y $ para alimentar a $d(x,y)$ . Por lo tanto, demuestre que $x\sim x'$ y $y\sim y'\implies d(x,y)=d(x',y')$ .

$(2)$ Esta supuesta métrica es efectivamente una.

Sugerencia Supongamos que $d(x,x')=d(y,y')=0$ . $$\begin{align}d(x,y)&\leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)\\d(x,y)&\leq \;\;\;\;0\;\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;\;\;+d(y',y)\\d(x,y)&\leq d(x',y')\end{align}$$

Queda por demostrar bajo el mismo supuesto que $d(x,y)\geq d(x',y')$ .

---

Cuando se trabaja, por ejemplo, con el espacio de todas las funciones cuadradas integrables de Lebesgue sobre algún intervalo, $\mathscr L^2(I)$ , se suele utilizar lo anterior. Concretamente, se define $f\simeq g\iff f=g \text{ a.e. on } I$ para trabajar con un espacio métrico en lugar de un espacio semimétrico.

Answer 2

¡Vas por buen camino! Has demostrado que $\sim$ es una relación de equivalencia. Ahora, todavía hay que demostrar que $D$ está bien definido (que nuestra elección de representantes de las clases de equivalencia no importa).

Por definición de $D$ es sencillo demostrar que $D$ tiene todas las propiedades métricas que $d$ lo hace, así que lo único que queda por demostrar es que $D([x],[y])=0$ implica que $[x]=[y],$ pero de nuevo esto se deduce directamente de la definición de $D$ y $\sim$