Grupo de orden $40$

Question

Necesito demostrar que cualquier grupo $G$ tal que $|G|=40$ tiene 3 subgrupos $H_1,H_2,H_3$ tal que $H_1<H_2<H_3$ y sus órdenes son $5,10,20$ en consecuencia.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Usted sabe que el grupo tiene un único (y por lo tanto normal) $5$ -Sylow subgrupo, por lo que llamar a este $H_1$ .

También sabe que el grupo tiene al menos un $2$ -Sylow, que tendrá orden $8$ . Ahora bien, esto significa también que el grupo tendrá subgrupos de orden $2$ et $4$ (véase, por ejemplo Un grupo de orden $8$ tiene un subgrupo de orden $4$ ).

Sea $A$ sea un subgrupo de orden $2$ et $B$ sea un subgrupo de orden $4$ con $A\leq B$ . Ahora bien $H_1$ es normal, tanto $H_2 = H_1A$ et $H_3 = H_1B$ son subgrupos, y es fácil comprobar que cumplen los requisitos.