Las transformaciones de Cremona son mapas biracionales

Question

Consideremos el siguiente mapa, que es una transformación de Cremona: $$ \begin{split} f\colon & \mathbb P^2 \dashrightarrow \mathbb P^2 \\ & (x:y:z) \mapsto (xy: xz: yz) \end{split} $$

Tengo que demostrar lo siguiente:

1. El dominio es $\mathbb P^2 \setminus \{(1:0:0), (0:1:0), (0:0:1)\}$ .

2. El mapa no puede extenderse a todos los $\mathbb P^2$ .

3. El mapa es birracional al encontrar su inversa.

Bueno, punto (1) está claro ( $xy=xz=yz=0$ implica que dos de $x,y,z$ son 0). ¿Qué pasa con el punto 2 ? No sé cómo responder. ¿Cómo podría extender este mapa a los tres puntos especiales que se encuentran en el punto 1 ? ¿Por qué es imposible?

Por último, la inversa. ¿Hay algún truco fácil para encontrarla? He intentado resolver el sistema en coordenadas homogéneas, pero creo que quizá haya una forma más rápida...

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Quizá sea el momento de dar una respuesta (razonablemente completa).

Consideremos la subvariedad abierta $U_{YZ}:=\Bbb{P}^2 \setminus V(YZ)$ (es decir $\Bbb{P}^2$ con el $Y$ -y el eje $Z$ -eje eliminado). El mapa racional $f: \Bbb{P}^2 \dashrightarrow \Bbb{P}^2$ puede representarse en $U_{YZ}$ por el morfismo

\begin {split} U_{YZ} & \rightarrow U_Z:= \Bbb {P}^2 \setminus V(Z) \\ (x:y:z) & \mapsto (x/z:x/y:1) \end {split} que muestra que $f$ se define en todos los $U_{YZ}$ . Del mismo modo, se encuentra que $f$ se define en todos los $\Bbb{P}^2 \setminus \{(1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)\}$ y lo único que queda por comprobar es 1. y 2. es que $f$ no puede extenderse a todos los $\Bbb{P}^2$ . Una posible explicación es la siguiente.

Consideremos el morfismo \begin {split} f_{cone}: \Bbb {A}^3 & \rightarrow \Bbb {A}^3 \\ (x,y,z) & \mapsto (xy,xz,yz) \end {split} que asigna cada punto de la forma $(\lambda,0,0),(0,\mu,0)$ o $(0,0,\nu)$ al grano $(0,0,0)$ . Como todo morfismo de variedades, $f_{cone}$ ya está determinada de forma única por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío, por ejemplo, por su restricción a $\Bbb{A}^3 \setminus \{(\lambda,0,0),(0,\mu,0),(0,0,\nu) \; \vert \; \lambda,\mu,\nu \in k\} \subset \Bbb{A}^3$ .

Pero $f_{cone}$ restringido a $\Bbb{A}^3 \setminus \{(\lambda,0,0),(0,\mu,0),(0,0,\nu) \; \vert \; \lambda,\mu,\nu \in k\}$ induce el morfismo que representa el mapa racional $f$ como se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, toda extensión de $f$ a un morfismo definido en todo $\Bbb{P}^2$ tendría que mapear los puntos $(1:0:0),(0:1:0)$ y $(0:0:1)$ a " $(0:0:0)$ ", lo cual es imposible, y en consecuencia, los puntos $(1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)$ no puede estar en el dominio de $f$ .

Para 3. Simplemente utiliza el "truco" mencionado por Asal. Deja que $U_{XYZ}:=\Bbb{P}^2 \setminus V(XYZ)$ (es decir $\Bbb{P}^2$ sin los ejes de coordenadas). En $U_{XYZ}$ podemos representar $f$ como $$ (x:y:z) \mapsto (xy:xz:yz)=1/(xyz)(xy:xz:yz)=(1/z:1/y:1/x) $$ y a partir de esto, se puede leer la inversa de $f_{\vert U_{XYZ}}$ directamente.

Answer 2

No se me permite comentar ahora, así que tengo que escribir una respuesta como complemento de la respuesta de Nils. En efecto, no entiendo la respuesta de Nils de la 2, ya que no soy especialista en este campo.

Creo que el argumento de abajo es más fácil de entender para mí.

Supongamos que el mapa se puede ampliar para incluir $(1,0,0)$ y denotamos el mapa extendido por $\psi: U\rightarrow \mathbb P^2$ . Ahora $U_i=\{(x_0,x_1,x_2)\in \mathbb P^2|x_i\neq 0\}$ es una cobertura abierta de $\mathbb P^2$ . Así que una de sus preimágenes contiene $(1,0,0)$ . Esto no es simétrico pero sólo comprobaré el caso de $U_0$ . $\psi^{-1}(U_0)$ contiene $(U_1\cap U_2)\cup \{(1,0,0)\}$ y está abierto. Así que $(1,0,0)\in D(f)\subseteq \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\cup (U_1\cap U_2)$ . Supongamos que $f(x_0,x_1,x_2)=x_0^n+\sum_{u+v+w=n,w<n}a_{uvw}x_1^u x_2^v x_0^w$ . Dejemos que $x_0=1$ y $x_1=0$ estamos reducidos a $1+\sum_{v+w=n,w<n}a_{0vw}x_2^v$ . Este polinomio tiene un número finito de raíces, por lo que tenemos una contradicción.

Este método es el primero que se me ocurre. ¡Agradeceré si alguien puede dar alguna teoría general!