Generalización del teorema q-binomial.

Question

El siguiente es el conocido q-Teorema del Binomio:

Para todos los $n \geq 1$, tenemos: $$\prod_{j=1}^{n}(1+xq^j) = \sum_{k = 0}^{n} q^{k(k+1)/2} {n \choose k}_q x^k$$

No estoy demasiado familiarizado con la prueba del teorema y me preguntaba si la siguiente generalización también se mantiene o si la igualdad no se sostiene término por término, pero sólo por las sumas:

Generalización: Para todos los $n \geq 1$$1 \leq m \leq n$, tenemos: $$\prod_{j = m}^{n}(1+xq^j) = \sum_{k = m}^{n} q^{k(k+1)/2} {n \choose k}_q x^k$$

(EDIT) Gracias a la comentarista, ahora me doy cuenta de que la generalización es falsa. Hay una fórmula similar que expresa $\prod_{j = m}^{n}(1+xq^j)$ poder de una serie de $x$?

Agradecería cualquier sugerencia para la literatura relevante.

Answer 1

El $q$-teorema del binomio como fue enseñado a mí es $${}_1 \phi_0 (a; -; q, z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(p;q)_n} z^n = \frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}},$$ véase el capítulo 1.3 de Básica de la serie hipergeométrica de Gasper y Rahman. En particular $$\prod_{j = 1}^{n} (1 + xq^j) = \frac{(-xq;q)_{\infty}}{(-xq^{n+1};q)_{\infty}} = {}_1 \phi_0(q^{-n};-;q,-xq^{n+1}) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(p^{-n};q)_k}{(p;q)_k} (-xq^{n+1})^k.$$ La simplificación de los coeficientes de $x^k$ en el lado izquierdo de la ecuación rendimientos $$\frac{(p^{-n};q)_k}{(p;q)_k}(-1)^k p^{nk+k} = (-1)^k p^{\binom{n}{k} - nk} \frac{(p;q)_n}{(p;q)_{n-k}(q;q)_k} (-1)^k p^{nk+k} = q^{\binom{n+1}{k}} \binom{n}{k}_q,$$ por lo tanto la fórmula de la $q$-teorema del binomio es un caso especial.

Encontrar una solución para su generalización escribimos $$\prod_{j = m}^{n} (1 + xq^j) = \frac{(-xq^m;q)_{\infty}}{(-xq^{n+1};q)_{\infty}} = {}_1 \phi_0 (q^{-(n-m+1)};-;q,-xq^{n+1}) = \sum_{k=0}^{n-m+1} \frac{(p^{-(n-m+1)};q)_k}{(p;q)_{k}} (-xq^{n+1})^k.$$ Simplificar el coeficiente de $x^k$ en el lado izquierdo da $$\frac{(p^{-(n-m+1)};q)_k}{(p;q)_{k}} (-q^{n+1})^k = q^{\binom{k}{2} + mk} \binom{n-m+1}{k}_q.$$ Este rendimientos $$\prod_{j=m}^n (1 + xq^j) = \sum_{k=0}^{n-m+1} p^{\binom{k}{2} + mk} \binom{n-m+1}{k}_q x^k,$$ modulo tal vez algunos errores de cálculo. ;)