Evaluar

Question

Mi pregunta es evaluar:

PS

¿Por qué la solución es igual a$$\int\frac{\mathrm{d}x}{2x-4}$ en lugar de$\frac{1}{2}\ln|x-2|$?

Entiendo que si factorizo$\frac{1}{2}\ln|2x-4|$ antes de integrarme obtendría la primera respuesta, pero si no factorizo antes y solo uso$\frac{1}{2}$ de sustitución, ¿por qué la segunda respuesta sería incorrecta?

Answer 1

PS

es decir,$$\ln|2x-4|=\ln(2|x-2|)=\ln 2+\ln|x-2|$ $ que es una constante

Entonces,$$\frac12\ln|2x-4|-\ln|x-2|=\ln2 $ $

---

Alternativamente,$$\frac{d\left(\frac12\ln|2x-4|\right)}{dx}=\frac{d\left(\frac12\ln|x-2\right)}{dx}$$$\frac12\ln|2x-4|+k=\frac12\left(\ln 2+\ln|x-2|\right)=k'+\frac12\ln|x-2|$$ where $ $

Answer 2

'Similar' enfoque como el tuyo bangsauce. Deje$u=2x-4\;\Rightarrow\; du=2\ dx\;\Rightarrow\;du=\dfrac12\ dx$, luego $$ \begin{align} \int\frac{dx}{2x-4}&=\frac12\int\frac{du}{u}\\ &=\frac12\ln|u|+C\\ &=\frac12\ln|2x-4|+C\quad\Rightarrow\quad\text{your solution}\\ &=\frac12\ln2|x-2|+C\\ &=\frac12\ln|x-2|+\frac12\ln 2+C\quad\Rightarrow\quad\ln ab=\ln a +\ln b\\ &=\frac12\ln|x-2|+K\quad\Rightarrow\quad\text{where }K=\frac12\ln 2+C\text{ , yield another solution}. \end {align} $$