Usando argumentos geométricos para resolver un problema de análisis.

Question

No soy buena en interpretaciones geométricas... cualquier ayuda es muy bienvenida.

Considere la posibilidad de la central unitaria de disco $$D=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3, x^2+y^2\leq1\},$$

parametrizadas por $$\varphi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,2\pi].$$ Deje $\Omega(x,y,z)$ ser el ángulo sólido de $\varphi$, visto desde $(x,y,z)$. Considere la posibilidad de una curva cerrada $\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^3\backslash S$ de la clase $C^1$, $$S=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3, x^2+y^2=1\}.$$ Deje $p$ ser el número de veces que $\gamma$ recortes $D$, procedentes de $z>0$$z<0$, e $q$ el número de veces que $\gamma$ recortes $D$, procedentes de $z<0$$z>0$. Uso argumentos geométricos a la conclusión de que la $$\int_\gamma d\Omega=4\pi(p-q).$$

PS: si alguien quiere saber acerca de Ángulo Sólido, echa un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle

o

http://mathworld.wolfram.com/SolidAngle.html

Answer 1

Sugerencia: Probar que $\int_\gamma d\Omega = \int_{\gamma'} d\Omega$ si $\gamma$ $\gamma'$ son homotópica en $\mathbb{R}^3\backslash S$ (para algunos lo suficientemente regulares como homotopy, probablemente necesitará $C^2$). Utilizar esto para reducir (a través de la deformación y "cortar" el camino de $\gamma$) el problema para el caso en que $\gamma$ es, por ejemplo, un círculo (o algo similar igual de fácil trabajar con el formulario) de corte $D$ exactamente una vez (a través de la deformación y de separación de la ruta $\gamma$).

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He aquí un problema relacionado con (el que me menciona en los comentarios) con la solución:

Problema (problema 2)

Solución

Ich hoffe, dass du Deutsch lesen kannst ;)