Calcular $\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{n \sin(\frac{x}{n})}{1 + x^2} dx$

Question

La pregunta es la siguiente:

Calcular $\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{n \sin(\frac{x}{n})}{1 + x^2} dx$ .

$\textbf{Some ideas:}$

Podemos utilizar el hecho de que $\sin(\frac{x}{n}) \simeq \frac{x}{n} $ Pero entonces nos encontramos con que

$\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{n \sin(\frac{x}{n})}{1 + x^2} dx \simeq \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{n \times \frac{x}{n}}{1 + x^2} = \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{n} \frac{ x }{1 + x^2} dx $

$ \hspace{9.1cm} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2}\int_{0}^{n} \frac{ 2x }{1 + x^2} dx $

$ \hspace{9.1cm} \text{take } x^2=y$

$ \hspace{9.1cm} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2}\int \frac{ dy }{1 + y} $

$ \hspace{9.1cm} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(y)}{2} $

$\hspace{9.1cm} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(x^2)}{2} \mid_{0}^{n}$

$\hspace{9.1cm} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n^2)}{2} = +\infty$

Pero alguien me dijo que el resultado final debería ser $\frac{\pi}{2}$ ?

¿Puede indicarme dónde está mi error?

Gracias.

Answer 1

Esto es demasiado largo para estar en la sección de comentarios. El objetivo de este post es calcular \begin{align} \int^\infty_0 \frac{n\sin^2\frac{x}{n}}{1+x^2}\ dx \end{align} exactamente (no el límite). Esta es una forma más difícil de demostrar que el límite de mi propuesta de revisión del problema es efectivamente $\pi/2$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el integrando es integrable para todos los valores de $n$ . A continuación, observe \begin{align} \int^\infty_0 \frac{n\sin^2 \frac{x}{n}}{1+x^2}\ dx =&\ \frac{n}{2}\int^\infty_0 \frac{1}{1+x^2}\ dx -\frac{n}{2}\int^\infty_0\frac{\cos \frac{2x}{n}}{1+x^2}\ dx \\ =&\ \frac{n\pi}{4} - \frac{n}{4} \int^\infty_{-\infty} \frac{\exp(i\frac{2x}{n})}{1+x^2}\ dx. \end{align}

Ahora, utilizando la integración de contornos, podemos demostrar que \begin{align} \int^\infty_{-\infty} \frac{\exp(i\frac{2x}{n})}{1+x^2}\ dx = \pi e^{-2/n}. \end{align} De ello se desprende que \begin{align} \int^\infty_0 \frac{n\sin^2\frac{x}{n}}{1+x^2}\ dx = \frac{n\pi}{4}\left( 1- e^{-2/n}\right) = \frac{\pi}{2}ne^{-1/n}\sinh n^{-1}. \end{align} Por último, hagamos la observación de que para $n$ grande tenemos que \begin{align} 1-e^{-2/n} = \frac{2}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{align} lo que significa \begin{align} \int^\infty_0 \frac{n\sin^2\frac{x}{n}}{1+x^2}\ dx = \frac{\pi}{2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right). \end{align} Así, como $n\rightarrow \infty$ vemos que la integral se aproxima a $\pi/2$ .

Answer 2

Aquí mostraré, de forma más o menos rigurosa, que la integral original diverge logarítmicamente, como sugeriría tomar el límite dentro de la integral. (Mathematica da en realidad una solución de forma cerrada en términos de funciones inversas hiperbólicas para la integral a finito $n$ pero haremos como si no lo supiéramos).

Hacemos el cambio de variables $$ \int_0^\infty \frac{n\sin(x/n)}{x^2+1}\;dx = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x^2+1/n^2}\;dx$$ y luego dividir la integral en $\int_0^1+\int_1^\infty$ . En el segundo trozo, el límite se puede tomar bajo la integral ya que la convergencia es uniforme en $(1,\infty)$ y obtenemos $\int_1^\infty \frac{\sin(x)}{x^2} dx= \int_0^1 \sin(1/x)dx.$ La primera parte podemos reescribirla como $$\int_{0}^1\frac{x}{x^2+1/n^2}\;dx +\int_0^1 \frac{\sin(x)-x}{x^2+1/n^2}\;dx. $$ La segunda integral ya no tiene divergencia en el origen, por lo que el límite se puede tomar dentro de él. El primer término es simplemente $$ \frac{1}{2}\log(n^2+1).$$ Así que finalmente conseguimos $$ \int_0^\infty \frac{n\sin(x/n)}{x^2+1}\;dx = \frac{1}{2}\log(n^2+1) + \int_0^1 \left(\frac{\sin(x)-x}{x^2}+\sin(1/x)\right)\;dx + o(1) \sim \log(n)$$