Una desigualdad que involucra dos números complejos.

Question

Deje$z_1, z_2 \in \mathbb C$ y$a,b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Pruebalo

PS

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Intente una solución: deje$$|z_1|^2+|z_2|^2-|z_1^2+z_2^2|\le 2\dfrac{|az_1+bz_2|^2}{a^2+b^2}\le |z_1|^2+|z_2|^2+|z_1^2+z_2^2|$. Entonces,$z=a+ib$ se puede simplificar en lo siguiente

$$ \begin{equation} 2\dfrac{|az_1+bz_2|^2}{a^2+b^2} \implies 2\left|\dfrac{\left(\dfrac{z+\bar{z}}{2}\right)z_1+\left(\dfrac{z-\bar{z}}{2i}\right)z_2}{z}\right|^2 \implies\dfrac{\left|\Re(z(z_1+iz_2))\right|^2}{|z|^2} \end {equation} $$

Intenté sustituir$2\dfrac{|az_1+bz_2|^2}{a^2+b^2}$ pero solo se convirtió en un desastre que creo que no puedo reorganizar para que sea algo útil para probar la desigualdad. Si es posible, proporcione también el significado geométrico de esta desigualdad.

Answer 1

Deje$z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$ donde$x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb R$.

Entonces,$$|z_1|^2+|z_2|^2-|z_1^2+z_2^2|\le 2\dfrac{|az_1+bz_2|^2}{a^2+b^2}\le |z_1|^2+|z_2|^2+|z_1^2+z_2^2|$ $ es equivalente a$$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-\sqrt{(x_1^2-y_1^2+x_2^2-y_2^2)^2+(2x_1y_1+2x_2y_2)^2}\le 2\dfrac{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}{a^2+b^2}\le x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+\sqrt{(x_1^2-y_1^2+x_2^2-y_2^2)^2+(2x_1y_1+2x_2y_2)^2}$ $ Entonces, es suficiente para demostrar que$$\sqrt{(x_1^2-y_1^2+x_2^2-y_2^2)^2+(2x_1y_1+2x_2y_2)^2}\ge \left|x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2\dfrac{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}{a^2+b^2}\right|$ $

Cuadrando los dos lados,$$(x_1^2-y_1^2+x_2^2-y_2^2)^2+(2x_1y_1+2x_2y_2)^2\ge \left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2\dfrac{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}{a^2+b^2}\right)^2$ $ que es equivalente a$$(x_1^2-y_1^2+x_2^2-y_2^2)^2+(2x_1y_1+2x_2y_2)^2-(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)^2\ge -4(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)\dfrac{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}{a^2+b^2}+4\left(\dfrac{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}{a^2+b^2}\right)^2$ $ que es equivalente a$$-(x_1y_2-y_1x_2)^2\ge \dfrac{(ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2}{a^2+b^2}\cdot\frac{-(ax_2-bx_1)^2-(ay_2-by_1)^2}{a^2+b^2}$ $ Multiplicando ambos lados por$-(a^2+b^2)^2$,$$(a^2+b^2)^2(x_1y_2-y_1x_2)^2\color{red}{\le} ((ax_1+bx_2)^2+(ay_1+by_2)^2)((ay_2-by_1)^2+(bx_1-ax_2)^2)$ $ Ahora, esta desigualdad se mantiene por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.