Si G es un grupo que actúa propiamente discontinuo sobre una superficie de Riemann X , entonces podemos dar al cociente X/G una estructura de superficie de Riemann tal que la proyección p:XX/G es holomorfa. ¿Cómo puedo demostrarlo?
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Una prueba (un poco escueta) de un resultado muy similar aparece como Proposición 13 en estas notas . El punto clave es que todo punto fijo de $G$ admite una coordenada holomórfica local en la que el mapa es simplemente multiplicación por una raíz de la unidad. Esto es cierto porque todo mapa holomorfo $f$ en una variable es conforme equivalente cerca de un punto fijo $z_0$ al mapa lineal $z \mapsto f'(z_0)(z-z_0)$ .
Obsérvese que el resultado no es válido para mapas holomorfos de dimensión mayor que uno --ni siquiera para mapas lineales de orden finito de $\mathbb{C}^2$ ¡! Por ejemplo, consideremos el mapa $(z,w) \mapsto (-z,-w)$ . El anillo de funciones invariantes es $\mathbb{C}[z^2,zw,w^2] \cong \mathbb{C}[a,b,c]/(b^2-ac)$ por lo que el origen (único punto fijo del mapa) es un punto singular del cociente.
Quiero atribuir a mi colega Robert Varley la observación de que el diferente comportamiento en dimensión (compleja) uno y dimensión mayor que uno puede entenderse en términos de teoría clásica de invariantes. El semestre pasado impartimos en equipo un curso sobre curvas modulares y él introdujo esta perspectiva.
Por último, obsérvese también que si la acción no sólo es propiamente discontinua sino que gratis entonces en todas las dimensiones el cociente es una variedad compleja, y éste es un resultado mucho más fácil.
JazZeus
Puntos
26
He encontrado dos pruebas completamente diferentes. La más corta está aquí: http://tinyurl.com/cg4plxx en la página 9. Creo, que el principal problema para mí es entender por qué los puntos fijos de $G$ son los puntos de ramificación de $\pi$ .
