Encontrar el grado de un subcampo de un campo de división con el grupo de Galois$S_4$

Question

Estamos dado que el $E/\Bbb{Q}$ es una división de extensión de campo para algún polinomio de cuarto grado $f(x)\in \Bbb{Q}[x]$ tal que $G = \operatorname{Gal}(E/\Bbb{Q}) = S_4$. Se nos dice $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)\in E[x]$, y debemos determinar el grado de $[B:\Bbb{Q}]$ donde $B = \Bbb{Q}(\alpha_1+\alpha_2)$, y debemos determinar el grado de los subcampos de $B$.

---

Progreso Hasta La Fecha

Creo que han determinado el grado $[B:\Bbb{Q}]$. Necesitamos que todas las permutaciones que va a arreglar $\alpha_1+\alpha_2$, los cuales son los siguientes: $$ H = \{(1), (12), (34),(12)(34)\}.$$ Esto significa que $[B:\Bbb{Q}] = |G:H| = 24/4 = 6.$

Ahora para determinar los subcampos, quiero encontrar a los subgrupos de $S_4$ que contengan $H$. Creo que las únicas posibilidades son $$H_1 = \{(1),(12),(34),(12)(34), (1324),(1423),(14)(23),(13)(24)\} \simeq D_4,$$ y $S_4$ sí. Claramente, el campo fijo de $S_4$$\Bbb{Q}$$[\Bbb{Q}:\Bbb{Q}] = 1$. Sé que el grado $\Bbb{Q}$ de los fijos de campo de $H_1$$24/8 = 3$, pero estoy teniendo un tiempo difícil averiguar el campo fijo de $H_1$.

Parece que el campo de $B_1 = \Bbb{Q}((\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_3+\alpha_4))$ sería fijado por $H_1$, pero ¿cómo iba yo a saber que este es EL campo fijo? También, ¿cómo sé que esto es de hecho un subcampo de la $B$, debido a que no es claro para mí que es? Existe alguna otra manera de que podamos escribir $B$ que lo haría más claro que $B_1$ es un subcampo de la $B$?

---

Tengo una idea de por qué $B_1 = \Bbb{Q}((\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_3+\alpha_4))$ es un subcampo de la $B$. En primer lugar, si queremos expandir $f$ podemos encontrar que $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ es uno de los coeficientes. Esto significa $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4 \in \Bbb{Q}$, lo que también implica que $(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4) - (\alpha_1+\alpha_2) = \alpha_3 + \alpha_4$ debe ser en $B$. Así en el hecho de $(\alpha_1+\alpha_2)(\alpha_3+\alpha_4)\in B$ desde $B$ es un campo.

Answer 1

Si entiendo tu pregunta, que, básicamente, quieren mostrar que la $B_1$ es un subconjunto de a $B$. Alternativamente, usted quiere demostrar que $\operatorname{Gal}(E/B)$ es estrictamente menor que $\operatorname{Gal}(E/B_1)$ o, equivalentemente, que desea encontrar una permutación que corrige $B_1$ sino que se mueve a $B$.

Bien, ¿qué $\alpha_1 \to \alpha_3, \alpha_2 \to \alpha_4$ y viceversa. Este swaps $\alpha_1+\alpha_2 \to \alpha_3 + \alpha_4$, por lo que corrige $B_1$, pero ciertamente no $\alpha_1 + \alpha_2$ menos que los dos son iguales. En ese caso, definir $B_2$ el mismo que$B_1$, excepto el uso de $\alpha_k^2$ en lugar de $\alpha_k$. Incluso si esto no funciona, intente $B_3$ $\alpha_k^3$ y así sucesivamente...

Uno de estos está garantizado para trabajar ya que de lo contrario tendría $\alpha_i = \alpha_j$$i\neq j$. La razón por la $B_n$ está contenido en $B$ es debido a $\sum_k \alpha_k^n \in \Bbb Q$ debido a que cada permutación de las correcciones y, a continuación, la prueba de ingresos como en su edición.

EDIT: en Realidad, usted no necesita ir por encima de $B_2$. Esto es debido a que $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 = (\alpha_1+\alpha_2)^2 - 2\alpha_1\alpha_2$ e si $B_2$ se fija por la que permutación, a continuación,$\alpha_1\alpha_2 = \alpha_3\alpha_4$.

En particular, $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ son todas las raíces del mismo grado $2$ ecuación de $$x^2 - (\alpha_1+\alpha_2)x + \alpha_1\alpha_2 = x^2 - (\alpha_3+\alpha_4)x + \alpha_3\alpha_4$$