¿Alguien puede probar por qué$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ solo es válido cuando ayb son positivos?

Question

He visto a muchas personas decir que ayb no pueden ser positivos, por ejemplo, en esta prueba falsa:

PS

Confíe en mí, entiendo que$$1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1} \sqrt{-1} = i^2 = -1$ y también al ver esto, creo y acepto que a y b deben ser positivos o mayores que 0 (para$1\neq -1$)

Pero me interesa saber por qué es eso, que es algo que no sé? ¿Cuál es la prueba?

Muchas gracias.

Answer 1

Si $a$ es un número complejo y escribir $\sqrt{a}$ para denotar un número específico, se ha introducido un problema, ya que hay dos complejos numbeers cuyo cuadrado es $a$.

El problema aparece cuando usted necesita elegir una de las dos alternativas para todos los números complejos al mismo tiempo, y esto es inevitable en algunas situaciones. Por ejemplo, observe que para una declaración, tal como

para todos los números complejos $a$ $b$ tenemos $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$

a decir cualquier cosa, necesitamos dar sentido a $\sqrt{a}$ todos los $a$s.

Una buena opción para $\sqrt{-1}$ sin duda $i$. Una buena opción para $\sqrt{1}$$1$, por supuesto. Ahora $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}$ es, de acuerdo a estas opciones, igual a$i\cdot i$$-1$. Por otro lado $\sqrt{(-1)(-1)}$ $\sqrt{1}$ y elegimos que ser $1$; tenemos un problema.

Ok. Tal vez deberíamos haber escogido $\sqrt{1}$$-1$? Vamos a ver qué pasa. Ahora$\sqrt{1}\cdot\sqrt{1}$$(-1)\cdot(-1)$,$1$, e $\sqrt{1\cdot1}=\sqrt{1}=-1$: oh no!

Y usted puede seguir así...

De hecho, theere son cuatro opciones en todo, por lo $\sqrt{1}$ $\sqrt{-1}$ puede significar:

| sqrt{1} sqrt{-1}
|   1       i      
|   1      -i     
|  -1       i     
|  -1      -i

En cada una de estas cuatro opciones, se puede llegar a un problema.