Números sin representación finita en papel

Question

Se me ocurre que debe haber muchos números sin ninguna forma de representación finita en papel. ¿Existe un nombre para estos números?

Por ejemplo...

Los enteros y los racionales tienen una representación muy sencilla, por ejemplo, 3/4

Obviamente, los números irracionales también pueden tener una representación finita: 1,41421356... puede escribirse como "la solución de la ecuación x^2 = 2"

Los números trascendentales también pueden tener una representación finita: e puede escribirse como "el límite de (1 + 1/n)^n a medida que n se acerca al infinito"

En otras palabras, con una cantidad finita de esfuerzo se puede dar al lector suficiente información para calcular exactamente el valor del número especificado (con cualquier grado de precisión que el lector elija)

Sin embargo, debe haber muchos números en los que esto simplemente no es posible.

Consideremos el número 1,2736358762987349862379358... donde éste es sólo una cadena de dígitos (genuinamente) aleatorios. No hay manera de proporcionar una definición finita que especifique este número con un grado de precisión arbitrario. Del mismo modo, no hay ninguna ecuación en la que este número sea una solución ( Creo, aunque no sé cómo se podría probar esto ).

¿Significa esto que hay "huecos" en los números reales. El número de arriba está definitivamente en algún lugar entre 1,2 y 1,3, pero no hay manera de que pueda especificar el valor de este número (sin escribir un número infinito de dígitos). El número existe en la recta numérica pero nunca podré hacer nada con él.

¿Existe un nombre para estos números? ¿Puede alguien indicarme algún recurso interesante sobre este tema?

Sólo lo pregunto como aficionado interesado, así que pido disculpas si esta pregunta no es muy científica.

Answer 1

Eso depende de lo que se entienda por "representación". Una forma de cobrar esto es hablar de la números definibles . Estos son más generales que los números computables pero siguen siendo contables porque sólo hay un número contable de descripciones posibles de un número en un lenguaje sobre un alfabeto finito.

Answer 2

Creo que lo que describes son números que no son computable . Creo que http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number lo explica bastante bien. En realidad, casi todos los números no son computables.

Answer 3

Además del enlace de Daniel R., podría encontrar la noción de Complejidad de Kolmogorov (también llamada "complejidad descriptiva"). Como resumen muy breve, la complejidad descriptiva mide lo fácil que es escribir una descripción exacta de un número; los números de los que hablas no tienen una descripción con una longitud finita, ni ninguna descripción "más densa" que una simple lista de los dígitos del número. En cambio, el número trascendental $e$ no tiene una descripción algebraica, pero puede describirse de forma muy compacta mediante una de sus varias propiedades únicas (por ejemplo, "la base del logaritmo natural").

Answer 4

El número de nombres/palabras finitas sobre un alfabeto finito es contable, por lo que no se pueden nombrar todos los irracionales. Ciertamente, si se utilizaran palabras infinitas o un alfabeto infinito...

Answer 5

El OP está describiendo las secuencias de elección de Brouwer casi exactamente. Todo el análisis intuicionista se basa en ellas. Esta fluidez se logró admitiendo como "puntos", no sólo números discretos completamente definidos como [raíz] 2, pi, e, y similares - que, por así decirlo, ya han logrado "ser" - sino también "números" que están en un estado perpetuo de devenir en el que las entradas en sus expansiones decimales (o diádicas) son el resultado de actos libres de elección por parte de un sujeto que opera a lo largo de un tiempo indefinidamente extendido.' The Continuous and the Infinitesimal, John L Bell.