Polinomio de valor entero a través de algunos puntos conocidos

Question

Tengo 2 preguntas, pero pondré las dos aquí ya que están estrechamente relacionadas:

Un polinomio de valor entero $P(x)$ es un polinomio cuyo valor $P(n)\in\mathbb{N}$ por cada $n\in\mathbb{N}$ .

1 -Dado un conjunto de puntos con coordenadas enteras, sé que es posible construir un polinomio de Lagrange que pase por ellos, pero ¿es posible construir un polinomio de valor entero que pase por ellos? Si es así, ¿cómo? (Estoy interesado en una solución genérica, no en una para un conjunto específico de puntos)

2 -Se me da un conjunto de puntos con coordenadas $(x_i,y_i)$ pero esta vez algunos o todos los $x_i$ son números racionales, ¿sigue siendo posible construir un polinomio de valor entero que pase por estos puntos?

Editar: Yo reenviado en MO esta pregunta, donde fue respondida.

Answer 1

1 dados valores arbitrarios $y_0,y_1,y_2,\ldots,y_n$ podemos calcular los valores $p(k)$ del grado $\le n$ polinomio con $p(j)=y_j$ , $0\le j\le n$ con el método de las diferencias repetidas. En consecuencia, si todos los $y_i$ son números enteros, $p(x)$ será un número entero siempre que $x$ es un número entero. Pero podemos (posiblemente cambiando a un grado superior) asegurar que $p(x)$ será natural por natural $x$ ? Sí. Sólo tiene que utilizar $m=1$ en el siguiente

Propuesta. Dado $y_0,\ldots, y_n\in\mathbb Z$ y $m\in\mathbb Z$ existe un polinomio $P(X)$ tal que $P(k)\in\mathbb Z$ para $k\in \mathbb Z$ , $P(k)=y_i$ para $0\le k\le n$ y $P(k)\ge m$ para $k>n$ .

Prueba. El caso $n=0$ es fácil: si $y_0\ge m$ toma $P(x)=y_0$ y si $y_0< m$ , toma $P(x)=(m-y_0)x-y_0$ . Para el paso de inducción, considere $y_0'=y_1-y_0,\ldots, y_{n-1}'=y_n-y_{n-1}$ y $m'=\max\{m-y_n,0\}$ , encontrar un polinomio $Q$ en consecuencia y considerar $P(k)=y_0+\sum_{i=0}^{k-1}Q(i)$ que sí es un polinomio (con $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ como polinomio de diferencia). Las propiedades deseadas se comprueban fácilmente. $_\square$

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2 No. Cualquier polinomio de valor entero tiene necesariamente coeficientes racionales, por lo que no puede pasar por $(\pi,\frac12)$ por ejemplo.