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Probar o refutar:Adj(A) es diagonlizableA es diagonalizable

Para 2X2: A:[abcd] Adj(A):[dcba] Así que la afirmación es verdadera.

El problema viene cuando es 3X3: \operatorname{Adj}(A):\\
\begin{bmatrix}
\left |\begin{matrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33} 
\end{de la matriz} \right | & 0 & 0 \\
0 & \left |\begin{matrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} 
\end{de la matriz} \right |& 0 \\
0 & 0 & \left |\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} 
\end{de la matriz} \right |
\end{bmatrix}
No estoy seguro de que esto implica que Una es diagonlizable. He hecho algunos de los ejemplos y la declaración era verdad, pero no puedo probar el caso general.

EDITAR:

Me di cuenta de que me confunde diagonal con diagonalizable por lo que puede ignorar todos mis pasos.

11voto

user32262 Puntos 2147

El resultado no es cierto. SiAMn(F) es una matriz no diagonalizable conrankAn2, entonces todos los(n1)×(n1) menores son cero y entoncesAdj(A)=0 es diagonalizable. Para un contraejemplo concreto, puedes tomar

PS

4voto

egreg Puntos 64348

Esto es cierto siA es invertible, porque  operatornameAdj(A)=( detA)A1 y claramente una matriz invertible es diagonalizable si y solo si su matriz es: siA=SDS1 es invertible, conD diagonal, entonces A1=SD1S1 (sin entrada diagonal deD es cero, ya queA es invertible). Multiplicar por una constante distinta de cero no tiene consecuencias en la diagonalización.

SiA no es invertible, entonces la declaración puede ser falsa como se muestra en la respuesta de levap.

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