Probar o refutar:$\operatorname{Adj} (A)$ es diagonlizable$\implies A$ es diagonalizable

Question

Para $2X2$: $$A:\\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ $$\operatorname{Adj}(A):\\ \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}$$ Así que la afirmación es verdadera.

El problema viene cuando es $3X3$: $$\operatorname{Adj}(A):\\ \begin{bmatrix} \left |\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{de la matriz} \right | & 0 & 0 \\ 0 & \left |\begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{de la matriz} \right |& 0 \\ 0 & 0 & \left |\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{de la matriz} \right | \end{bmatrix}$$ No estoy seguro de que esto implica que Una es diagonlizable. He hecho algunos de los ejemplos y la declaración era verdad, pero no puedo probar el caso general.

EDITAR:

Me di cuenta de que me confunde diagonal con diagonalizable por lo que puede ignorar todos mis pasos.

Answer 1

El resultado no es cierto. Si$A \in M_n(\mathbb{F})$ es una matriz no diagonalizable con$\operatorname{rank} A \leq n - 2$, entonces todos los$(n-1) \times (n-1)$ menores son cero y entonces$\operatorname{Adj}(A) = 0$ es diagonalizable. Para un contraejemplo concreto, puedes tomar

PS

Answer 2

Esto es cierto si$A$ es invertible, porque $$\ operatorname {Adj} (A) = (\ det A) A ^ {- 1}$$ y claramente una matriz invertible es diagonalizable si y solo si su matriz es: si$A=SDS^{-1}$ es invertible, con$D$ diagonal, entonces $$A ^ {- 1} = SD ^ {- 1} S ^ {- 1}$$ (sin entrada diagonal de$D$ es cero, ya que$A$ es invertible). Multiplicar por una constante distinta de cero no tiene consecuencias en la diagonalización.

Si$A$ no es invertible, entonces la declaración puede ser falsa como se muestra en la respuesta de levap.