Es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^{1+a}}$ convergen puntualmente en $R$ ?

Question

$(1).$ Para cualquier $a>0$ es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^{1+a}}$ convergente puntualmente en $R$ ? ¿Debo tener en cuenta ciertas series de Taylor?

$(2).$ Y para demostrar que esta serie no converge uniformemente en $R$ :

Desde $||\frac{x}{n^{1+a}}||_{C(R)}=\sup\limits_{R}\frac{|x|}{n^{1+a}} \not\rightarrow 0$ para todos $n$ . Para tener una convergencia uniforme, la secuencia de sumas parciales tiene que converger a cero, por lo que la serie no converge uniformemente. ¿Es válida esta prueba?

Answer 1

Para la primera pregunta, $\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{n^{1+a}}$ converge puntualmente a $x\zeta(1+a)$ para $a>0$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Podemos demostrarlo directamente utilizando, por ejemplo, la prueba integral.

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Para la segunda, tienes razón en que si la serie converge uniformemente, entonces los términos generales de la serie deben converger a $0$ de manera uniforme. En este caso, tenemos

$$\lim_{n\to \infty}\frac{x}{n^{1+a}}=0$$

Pero, para $\epsilon=1$ y para cualquier $n$ podemos encontrar $x=n^{1+a}$ tal que

$$\frac{x}{n^{1+a}}=\frac{n^{1+a}}{n^{1+a}}=1=\epsilon$$

que niega la convergencia uniforme de los términos generales a $0$ .

En la medida en que los términos generales no convergen uniformemente a $0$ la serie no puede converger uniformemente.